Divisão de polinômios

Usando que \(t^n - 1)\) é divisível por \((t - 1\), segue que \( x^{2004} - 1 = (x^3)^{668} - 1\) é divisível por \( x^3 -1\). Ou seja, existe um polinomio q(x) tal que

\( x^{2004} - 1= q(x) (x^3 -1) \implies \)

\(x^{2006} - x^2 = x^2 q(x) (x^3-1)  \implies \)

\( x^{2006} + 2x+87 = x^2 q(x) (x^3-1) + x^2 +2x+87\)

Portanto, o resto é x² +2x+87


Obs.: Outra maneira de pensar é observar que sendo r uma raiz de x³ -1, então r³ = . Daí, se \(p(x) = x^{2006} + 2x+87\),  temos p(r) = r² + 2r+87. Esse deve ser o resto.