Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1

Estou travado desde ontem nesta questão, espero que possam me ajudar a descobrir como resolvê-la:

Determine m para que a equação do 2º grau (3m - 2)x2 + 2mx + 3m = 0 tenha uma única raiz entre -1 e 0.

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Nesta postagem vc deixou de seguir duas Regras:

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E, se souber o gabarito deve postá-lo, junto com o enunciado (Regra XI).

Por favor, EDITe seu enunciado e leia/siga todas as Regras nas suas próximas postagens.

Elcioschin escreveu:Bem-vindo ao fórum!
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E, se souber o gabarito deve postá-lo, junto com o enunciado (Regra XI).

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Ah desculpa, já reenviei

Se existe uma única raiz de -1 a 0, basta que f(-1) < 0 e f(0) > 0 ou o oposto.
f(-1) = 3m - 2 - 2m + 3m = 4m - 2 e f(0) = 3m
Então, quero 4m-2 < 0 => m < 1/2 e 3m > 0 => m > 0 => (I) 0 < m < 1/2
Ou 4m-2 > 0 => m > 1/2 e 3m < 0 => m < 0 => (II) vazio
Precisamos por fim verificar o que ocorre para um discriminante nulo:
(2m)² - 4(3m-2)(3m) = 0 <=> 4m² = 12(3m² - 2m) <=> m² = 9m² - 6m <=> 6m = 8m² <=> 3m = 4m² => m = 0 ou m = 3/4. Para m = 0, f(x) = -2x² -> a raiz é 0 (não está no intervalo). Para m = 3/4, f(x) = x²/4 + 3x/2 + 9/4 = 0 <=> x² + 6x + 9 = 0 => a raiz é -3.
Então, a solução é 0 < m < 1/2.