Função quadrática ou polinomial do 2º grau

Com 140 metros lineares de tela de arame, um fazendeiro construiu dois currais; um quadrado e um retangular, este de comprimento igual ao triplo da largura. Sabendo que a medida escolhida para o lado do quadrado tornou a soma das áreas dos currais a menor possível, calcule a área de cada curral.

Resposta: curral quadrado 225 m² e o curral retangular 300 m²

Olá, alguém poderia me ajudar com o passo-a-passo da resolução dessa questão ? Obrigada.

Chamemos o lado do quadrado de \(x\), o lado menor do retângulo de \(y\) e o lado maior do retângulo de \(3y\).

Dessa forma, o perímetro do quadrado é \(p_\text{q}=4x\) e o perímetro do retângulo é \(p_\text{y}=8y\).

A soma dos perímetros dos currais tem de ser o comprimento da tela de arame.
\[4x+8y=140\]
Simplificando:
\[x+2y=35\]
\[\color{blue}x=35-2y\]
A área total é a soma das áreas. Lembrando que a área do retângulo é a base (\(y\)) vezes a altura (\(3y\)).
\[A=A_\text{q}+A_\text{r}=x^2+3y^2\]
\[A=\left(35-2y\right)^2+3y^2=35^2-140y+4y^2+3y^2\]
\[A=7y^2-140y+35^2\]
O valor mínimo da abcissa da função quadrática:
\[y=-\frac{b}{2a}=\frac{140}{2\cdot7}\]
\[\color{blue}y=10~\text{m}\]
\[x=35-2y=35-2\cdot 10=35-20\]
\[\color{blue}x=15~\text{m}\]
\[\color{red}A_\text{q}=x^2=15^2=225~\text{m}^2\]
\[\color{red}A_\text{r}=3y^2=3\cdot10^2=300~\text{m}^2\]