Função polinomial do 2º grau

inguz escreveu:Sabendo-se que a imagem da função f(x) = x² + 5x + (k + 4) é o conjunto [latex]{y\in R | y \geq - 1}[/latex]

podemos afirmar que o valor de k é: 

Resposta: 1,25 

Olá, alguém poderia me explicar o passo-a-passo dessa questão ? Obrigada!

matheus_feb escreveu:

inguz escreveu:

Sabendo-se que a imagem da função f(x) = x² + 5x + (k + 4) é o conjunto [latex]{y\in R | y \geq - 1}[/latex]

podemos afirmar que o valor de k é: 

Resposta: 1,25 

Olá, alguém poderia me explicar o passo-a-passo dessa questão ? Obrigada!

Fiz assim:

Como o conjunto imagem, para y, é maior ou igual a -1, teremos f(x) ≥ -1

Independente do valor de k para f(x) ≥ -1, teremos c > 0. Para ilustrar, montei um gráfico que toca um ponto qualquer do eixo y:

Assim, para f(x) ≥ -1, temos:

-1 = x² + 5x + (k+4)

x² + 5x + (k+5) = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = 25 - 4 . 1 . (k+5)

∆ = -4k + 5

Como o gráfico da função, para f(x) ≥ -1, toca o eixo x em dois pontos, teremos ∆ > 0.

-4k + 5 > 0

-4k > -5

4k > 5

k > 1,25

Giovana Martins escreveu:

matheus_feb escreveu:

inguz escreveu:

Sabendo-se que a imagem da função f(x) = x² + 5x + (k + 4) é o conjunto [latex]{y\in R | y \geq - 1}[/latex]

podemos afirmar que o valor de k é: 

Resposta: 1,25 

Olá, alguém poderia me explicar o passo-a-passo dessa questão ? Obrigada!

Fiz assim:

Como o conjunto imagem, para y, é maior ou igual a -1, teremos f(x) ≥ -1

Independente do valor de k para f(x) ≥ -1, teremos c > 0. Para ilustrar, montei um gráfico que toca um ponto qualquer do eixo y:

Assim, para f(x) ≥ -1, temos:

-1 = x² + 5x + (k+4)

x² + 5x + (k+5) = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = 25 - 4 . 1 . (k+5)

∆ = -4k + 5

Como o gráfico da função, para f(x) ≥ -1, toca o eixo x em dois pontos, teremos ∆ > 0.

-4k + 5 > 0

-4k > -5

4k > 5

k > 1,25

Matheus, creio que houve apenas um errinho quanto à desigualdade. Dentre os possíveis valores de k, k pode ser igual a 1,25, pois se k = 1,25 tem-se que a imagem de f(x) é maior ou igual a - 1. Você o excluiu.

\[\mathrm{-\frac{\Delta }{4a}\geq -1\to \frac{4(k+4)-(5)^2}{4}\geq -1\ \therefore\ k\geq 1,25}\]

matheus_feb escreveu:

Giovana Martins escreveu:

matheus_feb escreveu:

inguz escreveu:

Sabendo-se que a imagem da função f(x) = x² + 5x + (k + 4) é o conjunto [latex]{y\in R | y \geq - 1}[/latex]

podemos afirmar que o valor de k é: 

Resposta: 1,25 

Olá, alguém poderia me explicar o passo-a-passo dessa questão ? Obrigada!

Fiz assim:

Como o conjunto imagem, para y, é maior ou igual a -1, teremos f(x) ≥ -1

Independente do valor de k para f(x) ≥ -1, teremos c > 0. Para ilustrar, montei um gráfico que toca um ponto qualquer do eixo y:

Assim, para f(x) ≥ -1, temos:

-1 = x² + 5x + (k+4)

x² + 5x + (k+5) = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = 25 - 4 . 1 . (k+5)

∆ = -4k + 5

Como o gráfico da função, para f(x) ≥ -1, toca o eixo x em dois pontos, teremos ∆ > 0.

-4k + 5 > 0

-4k > -5

4k > 5

k > 1,25

Matheus, creio que houve apenas um errinho quanto à desigualdade. Dentre os possíveis valores de k, k pode ser igual a 1,25, pois se k = 1,25 tem-se que a imagem de f(x) é maior ou igual a - 1. Você o excluiu.

\[\mathrm{-\frac{\Delta }{4a}\geq -1\to \frac{4(k+4)-(5)^2}{4}\geq -1\ \therefore\ k\geq 1,25}\]

Verdade. Acabei errando o sinal... Mas o resto do raciocínio está correto?

Giovana Martins escreveu:

matheus_feb escreveu:

Giovana Martins escreveu:

matheus_feb escreveu:

inguz escreveu:

Sabendo-se que a imagem da função f(x) = x² + 5x + (k + 4) é o conjunto [latex]{y\in R | y \geq - 1}[/latex]

podemos afirmar que o valor de k é: 

Resposta: 1,25 

Olá, alguém poderia me explicar o passo-a-passo dessa questão ? Obrigada!

Fiz assim:

Como o conjunto imagem, para y, é maior ou igual a -1, teremos f(x) ≥ -1

Independente do valor de k para f(x) ≥ -1, teremos c > 0. Para ilustrar, montei um gráfico que toca um ponto qualquer do eixo y:

Assim, para f(x) ≥ -1, temos:

-1 = x² + 5x + (k+4)

x² + 5x + (k+5) = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = 25 - 4 . 1 . (k+5)

∆ = -4k + 5

Como o gráfico da função, para f(x) ≥ -1, toca o eixo x em dois pontos, teremos ∆ > 0.

-4k + 5 > 0

-4k > -5

4k > 5

k > 1,25

Matheus, creio que houve apenas um errinho quanto à desigualdade. Dentre os possíveis valores de k, k pode ser igual a 1,25, pois se k = 1,25 tem-se que a imagem de f(x) é maior ou igual a - 1. Você o excluiu.

\[\mathrm{-\frac{\Delta }{4a}\geq -1\to \frac{4(k+4)-(5)^2}{4}\geq -1\ \therefore\ k\geq 1,25}\]

Verdade. Acabei errando o sinal... Mas o resto do raciocínio está correto?

Se eu entendi certinho o objetivo da resolução, a meu ver não está de todo correto, pois não é verdade que independentemente do valor de k c vai ser sempre positivo, pois se k = - 5, o termo c equivale a - 1.

A análise do discriminante me soou um pouquinho esquisita também, pois do jeito que foi feito acabou que você caiu em uma situação na qual você analisa qual o tipo de raiz de f(x) + 1, ao invés da imagem de f(x) propriamente dita.