Conjuntos e subconjuntos

Um artesão começou a vender caixas decoradas e, para incentivar as vendas, incluirá pelo menos um bombom de brinde na caixa. Sabe-se que são cinco sabores diferentes de bombons, e não haverá sabor repetido em uma mesma caixa, podendo ter de um sabor até os cinco sabores.
Considerando um conjunto com esses cinco sabores, a quantidade de subconjuntos distintos de bombons que esse artesão pode fazer é
a) 5
b) 24
c)25
d)31
e) 32 

Gabarito D 

Resolução comentada: ''Como são cinco os sabores possíveis, pode-se considerar um conjunto com esses cinco sabores, e a quantidade de distribuições distintas possíveis dos bombons que esse artesão pode fazer é dada pela quantidade de subconjuntos desse conjunto. A quantidade de subconjuntos de um conjunto com 5 elementos é 2^5 = 32. Mas essa quantidade inclui o conjunto vazio, assim, como nas caixas decoradas haverá pelo menos um bombom, então a quantidade pedida é 32 – 1 = 31 distribuições distintas possíveis.''

Não entendi essa resolução,  e por que 2^5?

Salve, marina! Essa resolução usa o conceito de subconjunto (S), em que a fórmula para determiná-los é: 

[latex]S = 2^{n}[/latex] , onde S é o número de subconjuntos e n é o número de elementos do conjunto original.

Como na caixa podem ter até 5 bombons (achamos o nosso "n"), quando se aplica a fórmula obtemos 32. Porém, na teoria dos conjuntos, essa fórmula conta o conjunto vazio! Para eliminarmos ele, basta subtrair um: 32 - 1 = 31.

Segue uma demonstração da fórmula para que fique melhor esclarecido:

Em um conjunto [latex]C = \left \{n1, n2, ... n \right \}[/latex], cada elemento pode ou não pertencer a um subconjunto S. Como para cada elemento há 2 possibilidades (pertencer ou não pertencer), o número total de subconjuntos obedecerá o Princípio Fundamental da Contagem:

[latex]S=2.2.2.2....\, [n\: vezes]=2^{n}[/latex]


Espero ter ajudado, me desculpe por qualquer erro!