Álgebra e divisibilidade

por vambertxs Qui 04 Abr 2024, 22:17

boa tarde pessoal, eu estou em dúvida em uma questão, tem uma equação:

m+n = (m-n)^2, m e n são inteiros, as soluções m,n são infinitas? ou são finitas,

por aitchrpi Sex 05 Abr 2024, 18:11

A equação possui infinitas soluções.

m + n = (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2
-n^2 + n = m^2 - (2n+1)m

Somando 1/2 * (2n + 1) = (n + 1/2) a igualdade,

(n + 1/2)^2 - n^2 + n = 2n + 1/4 = (m - n - 1/2)^2
raiz(8n+1)/2 = m - n - 1/2
m = n + 1/2 + raiz(8n+1)

Então, fazendo 8n + 1 = k^2, n = 1/8 * (k - 1)(k + 1). Assim, 8 | (k - 1)(k + 1). Uma possibilidade é tomar k = 4i + 1, já que (4i+1-1)(4i+1+1) = (4i)(4i+2) = 8i(2i+1). Outra solução é possível com k = 4i+3.

Substituindo para k = 4i + 1 em n e m, n = 2i^2 + i e m = 2i^2 + 3i + 1.

(m + n) = (2i^2 + 3i + 1 + 2i^2 + i) = (4i^2 + 4i + 1) = (2i+1)^2
(m - n)^2 = (2i^2 + 3i + 1 - 2i^2 - i)^2 = (2i + 1)^2

por vambertxs Sex 05 Abr 2024, 22:12

confesso que eu não entendi o passo a passo, mas mto obrigado pela ajuda,
você somou (n + 1/2) ou (n+1/2)^2? e eu também não entendi de onde veio o (m-n-1/2)

por aitchrpi Sáb 06 Abr 2024, 08:57

vambertxs escreveu:confesso que eu não entendi o passo a passo, mas mto obrigado pela ajuda,
você somou (n + 1/2) ou (n+1/2)^2? e eu também não entendi de onde veio o (m-n-1/2)

Isso, (n + 1/2)^2. Erro meu. Somando (n + 1/2)^2 a equação,

(n + 1/2)^2 - n^2 + n = m^2 - (2n+1)m + (n + 1/2)^2
n^2 + n + 1/4 - n^2 + n = m^2 - 2 * (2n + 1)/2 * m + (n + 1/2)^2 = m^2 - 2(n+1/2)m + (n+1/2)^2

Como (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
2n + 1/4 = (m - (n + 1/2))^2 = (m - n - 1/2)^2

por vambertxs Sáb 06 Abr 2024, 15:18

aitchrpi escreveu:
vambertxs escreveu:confesso que eu não entendi o passo a passo, mas mto obrigado pela ajuda,
você somou (n + 1/2) ou (n+1/2)^2? e eu também não entendi de onde veio o (m-n-1/2)

Isso, (n + 1/2)^2. Erro meu. Somando (n + 1/2)^2 a equação,

(n + 1/2)^2 - n^2 + n = m^2 - (2n+1)m + (n + 1/2)^2
n^2 + n + 1/4 - n^2 + n = m^2 - 2 * (2n + 1)/2 * m + (n + 1/2)^2 = m^2 - 2(n+1/2)m + (n+1/2)^2

Como (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
2n + 1/4 = (m - (n + 1/2))^2 = (m - n - 1/2)^2