Encontar razão entre segmentos num triângulo

por Zeis Qua 28 Fev 2024, 08:00

1. A altura AD dum triângulo retângulo ABC é o diâmetro do círculo O. Se o círculo intersecta AB e AC em E e F, respectivamente, encontre a razão de EB:BD.

por **Giovana Martins** Dom 03 Mar 2024, 13:29

Sendo ABC retângulo em A, podemos escrever os lados deste triângulos como (AC,AB,BC) = (3n,4n,5n).

Da relações métricas no triângulo retângulo:

[latex]\\\mathrm{\overline{AD}\times \overline{BC}=\overline{AB}\times \overline{AC}\to 2R\times 5 n=4n\times 3 n\ \therefore\ AD=2R=2,40n\ (i)}[/latex]

Por Pitágoras no triângulo ABD:

[latex]\\\mathrm{\overline{BD}=\sqrt{\left ( \overline{AB} \right )^2-\left (\overline{ AD} \right )^2}\to \overline{BD}=\sqrt{(4n)^2-(2,4n)^2}\ \therefore\ \overline{BD}=3,20n\ (ii)}[/latex]

Pelo A.A.A. os triângulos ABC e BDE são semelhantes tal que:

[latex]\\\mathrm{\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\to \frac{\overline{BE}}{4n}=\frac{3,2n}{5n}\ \therefore\ \overline{BE}=2,56 n\ (iii)}[/latex]

Deste modo, a razão solicitada é dada por:

[latex]\\\mathrm{\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=\frac{2,56n}{3,20n}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}=\frac{4}{5}}}}[/latex]