Inequações exponenciais/logarítmicas.

por kakaneves999@gmail.com Dom 25 Fev 2024, 21:41

Resolver a inequação: log_(x/2)( Cool

+ log_(x/4)( Cool

< log₍₂₎(x^4) / log₍₂₎(x⁴) - 4

Obs: x/2 e x/4 são as bases.

Gabarito: 0 < x < 2 ou x > 4

Desde já, agradeço a todas pela colaboração!!!

por **Elcioschin** Dom 25 Fev 2024, 22:01

Use parênteses ou colchetes ou chaves para:

1) Definir a base do logaritmo e o logaritmando
2) Definir numeradores e denominadores

Por exemplo, não sabemos se o denominador do 2º membro é log(2)(x^4) - 2 ou se é log(2)(x^4 - 2)

De qualquer modo sugiro mudar as bases x/2 e x/4 para base 2:

log_b(L) = log_a(L)/log_a(b)

E mais uma dica, para escrever índices (a base) e expoentes:

log₂(8) ---> log[sub.]2[/sub.](8) sem os dois pontos

x⁴ ---> x[sup.]4[/sup.] sem os dois pontos

por **Giovana Martins** Dom 25 Fev 2024, 23:05

Acredito que a expressão correta seja a que segue, pois tentei de outra forma e deu bem errado.

Esta questão é meio difícil, porque ela é cheia de detalhes.

[latex]\\\mathrm{log_{\left ( \frac{x}{2} \right )}( 8 )+log_{\left ( \frac{x}{4} \right )}( 8 )<\frac{log_2( x^4 )}{log_2( x^2 )-4}}[/latex]

Condições de existência:

[latex]\\\mathrm{log_a(b)\ \therefore\ b>0,\ a>0\ \wedge \ a\neq 1 }\\\\ [/latex]

[latex]\\\mathrm{Para\ log_{\left ( \frac{x}{2} \right )}( 8 ):\left\{\begin{matrix} \mathrm{\frac{x}{2} > 0\to x > 0\ ( i )}\\\\ \mathrm{\frac{x}{2}\neq 1\to x\neq 2\ ( ii )} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Para\ log_{\left ( \frac{x}{4} \right )}( 8 ):\left\{\begin{matrix} \mathrm{\frac{x}{4}>0\to x > 0 \ ( iii )}\\\\ \mathrm{\frac{x}{4}\neq 1\to x\neq 4\ ( iv )} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Para\ log_{2}( x^4 ): x^4 > 0\to x > 0\ ( v )}\\\\ \mathrm{Para\ log_{2}( x^2 ): x^2 > 0\to x > 0\ ( vi )}\\\\ \mathrm{\therefore\ ( i )\ \cap\ ( iii )\ \cap\ ( v )\ \cap\ ( vi )\to x > 0}\\\\ \mathrm{Logo,\ os\ condicionantes\ s\tilde{a}o: x > 0 , x\neq 2 \ \wedge\ x\neq4\ ( vii )} [/latex]

Agora, vamos às contas:

[latex]\\\mathrm{log_{\left ( \frac{x}{2} \right )}( 8 )+log_{\left ( \frac{x}{4} \right )}( 8 ) < \frac{log_2( x^4 )}{log_2( x^2 ) - 4}}\\\\ \mathrm{log_{\left ( \frac{x}{2} \right )}( 8 )=\frac{log_2 ( 2^3 )}{log_2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{3}{log_2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{3}{log_2 ( x ) - log_2 ( 2 ) }=\frac{3}{log_2 ( x ) - 1},logo:}\\\\ \mathrm{\frac{3}{log_2 ( x )-1}+\frac{3}{log_2 ( x )-2} < \frac{4log_2 ( x ) }{2log_2 ( x )-4}\to \frac{3}{L-1}+\frac{3}{L-2} < \frac{2L}{L-2}}\\\\ \mathrm{Manipulando\ a\ desigualdade:\frac{L^2-4L+4,5}{(L-2)(L-1)}>0\ \therefore\ L < 1\ \vee\ L > 2}\\\\ \mathrm{Sendo\ log_2 ( x )=L\ \therefore\ log_2 ( x ) < 1\to 0 < x < 2\ (viii)\ \wedge\ log_2 ( x ) > 2\to x > 4\ ( ix ) }\\\\ \mathrm{\therefore\ ( vii )\ \cap \ ( viii )\ \cap\ ( ix )\to S=\left \{ x\in \mathbb{R}\ |\ 0 < x < 2\ \vee\ x > 4 \right \}}[/latex]

por **Medeiros** Dom 25 Fev 2024, 23:19

Giovana, me corrija se estiver errado mas entendo que
x⁴ > 0 -----> x ≠ 0
e
x² > 0 -----> x ≠ 0
apesar de que as condições elencadas em (i) e (iii) já forçam x > 0.

por **Giovana Martins** Dom 25 Fev 2024, 23:28

Boa noite, Medeiros. Espero que você esteja bem.

No caso, indiretamente eu explicitei essas duas condições em v e em vi pela definição do logaritmando.

A partir das condições do logaritmando, a meu ver, a resolução fica mais exata ao indicar x > 0, pois se eu indicar somente x ≠ 0, eu deixo margem para que x assuma valores negativos, o que não pode ocorrer em se tratando do logaritmando. Por isso indico apenas x > 0 conforme a condição b > 0 indicada na resolução, o que já exclui o 0.