Número de zeros de fatorial

1. Verificar em quantos zeros termina 1.000.000!

Gabarito: 249998

O número de zeros em um dado número depende da quantidade de fatores 5 e 2 presentes. Como há mais fatores 2 do que 5 no número 1.000.000!, o fator primo 5 se torna o limitante para determinar a quantidade de zeros. Para calcular quantos fatores 5 estão presentes, é necessário contar quantas vezes cada potência de 5 aparece. Por fim, uma vez que 5^9 é maior que 1000000, o número N de zeros pode ser determinado da seguinte forma:

\[N=\left \lfloor \frac{10^6}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^3} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^4} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^6} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{10^6}{5^8} \right \rfloor \]

\[\therefore \fbox{$N=249998$}\]