fatoração

Bom dia. Não vou conseguir terminar agora, pois estou um pouquinho atarefada agora cedo (na verdade, eu nem sei se eu sei terminar o problema). Mais tarde venho aqui para ver se eu consigo finalizar o problema, caso ninguém faça isso antes de mim. Sintam-se a vontade para finalizar o exercício.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sejam\ a=\sqrt[3]{\mathrm{3\sqrt{21}+8}}\ e\ b=\sqrt[3]{\mathrm{3\sqrt{21}-8 }}.\ Deste\ modo:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ab=a=\sqrt[3]{\mathrm{(3\sqrt{21}+8 )(3\sqrt{21}-8 )}}=5}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Seja\ x=a+b\ tal\ x^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+15x}\\\\ \mathrm{Manipulando\ a\ igualdade:f(x)=x^3-15x-6\sqrt{21}=0\ \therefore\ x=\sqrt{21}\ \acute{e}\ raiz\ de\ f(x)}\\\\ \mathrm{Sendo\ f\left ( \sqrt{21} \right )=0\ e\ as\ demais\ raizes\in\mathbb{C},logo:\sqrt[3]{\mathrm{3\sqrt{21}+8 }}+\sqrt[3]{\mathrm{3\sqrt{21}-8 }}=\sqrt{21}}[/latex]

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ P(x)=x+2x^2+...+2010x^{2010}+2011x^{2011}\ (i)\ e\ xP(x)=x^2+2x^3+...+2010x^{2011}+2011x^{2012}\ (ii)}\\\\

\mathrm{\ \ \ De\ (i)\ e\ (ii) : P(x)-xP(x)=\underset{P.G.\ cuja\ raz\tilde{a}o\ \acute{e}\ x}{\underbrace{x+x^2+x^3+...+ x^{2011}}}+2011x^{2012}\ \therefore\ P(x)=\frac{x\left ( x^{2011}-1 \right )}{(x-1)^2}+2011x^{2012}}\\\\

\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ Manipulando\ a\ igualdade\ anterior\ podemos\ escrever\ P(x)=\frac{x^{2012}\left [ 1+2011(x-1)^2 \right ]}{(x-1)^2}-\frac{x}{(x-1)^2}}\\\\

\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Note\ pela\ segunda\ parcela\ de \ P(x)\ que\ para\ x=\sqrt{21}\ tem-se:\frac{\sqrt{21}}{\left ( \sqrt{21}-1 \right )^2}}\\\\

[/latex]

[/latex]\mathrm{Deste\ modo, \sqrt{21}+2\cdot \left ( \sqrt{21} \right )^2+...+2010\cdot \left ( \sqrt{21} \right )^{2010}+2011\cdot \left ( \sqrt{21} \right )^{2011}\ n\tilde{a}o\ \acute{e}\ m\acute{u}ltiplo\ de\ \left \{ 3,5,7,11 \right \}.}[/latex]

Editei o post.

Note que x não é múltiplo de {3, 5, 7, 11}, pois estes não são divisores de raiz de 21, motivo pelo qual eu explicitei a penúltima linha da resolução.

Por enquanto irei ficar devendo como achar aquela raiz de 21. Achei que seria fácil encontrá-la quando bati o olho no polinômio, mas não consegui achar facilmente esta raiz.

Testando fica fácil de ver que raiz de 21 de fato é raiz de f(x), porém, pelo menos para mim, este polinômio não é um polinômio trivial, de tal modo que não me parece intuitivo "chutar" raiz de 21 como sendo raiz de f(x).

Olha, eu nunca usei nenhum livro especificamente para isso. Eu meio que aprendi um pouco de algebrismo fazendo questões de exatas no geral.

De qualquer modo, um livro que todo mundo indica é o livro O Algebrista. Muita gente recomenda este livro. Dê uma olhadinha. Quem sabe ele te ajude.