Função Modular

por Ada Augusta Sáb 16 Dez 2023, 23:49

(UECE) Seja f: (-∞,-1]∪[1,+∞) → ℝ a função definida por f(x) = |x + √(x²-1) |. É correto afirmar que:
a) f(1) = 2
b) f(x) = -x -√(x²-1) se x ≥ 1
c) f(x) = -x -√(x²-1) se x ≤ -1
d) f(x) = -x +√(x²-1) se x ≤ -1
e) f(x) = 0 para todo real x no domínio f.

Alguém poderia me explicar essa questão?

Gab.: C

por **qedpetrich** Dom 17 Dez 2023, 00:05

Essa questão se resolva mais rapidamente fazendo o teste de cada alternativa:

a) f(1) = |1 + √(1²-1)| = |1 + √0| = |1| = 1.

Falsa.

b) Se x >= 1, então, tomando, por exemplo, x = 1, deve-se corresponder ao valor de 1, logo:

f(1) = -1 -√[(-1)² -1] = -1 - 0 = -1

Falsa.

c) Se x =< -1, então, tomando, por exemplo, x = -1:

f(-1) = |-1 + √[(-1)² -1] = |-1 + √(1-1)| = |-1 + 0| = |-1| = 1

Da expressão fornecida:

f(-1) = -(-1) -√[(-1)² -1] = 1 - √(1-1) = 1 - √0 = 1 - 0 = 1

Verdadeira.

Se você testar para d) e a letra e) concluirá que são falsas para certos intervalos.

por Ada Augusta Dom 17 Dez 2023, 00:15

Entendi, obrigada pela resposta! Se não for pedir muito, apenas por curiosidade, poderia apenas me dizer o caminho para uma resolução sem utilização das alternativas?

por **qedpetrich** Dom 17 Dez 2023, 02:30

Tomando f(x) = |z|

Aplicando o módulo em z, temos:

x + √[(x)² - 1], se x >= 1

|z| =

-x - √[(x)² - 1], se x <= -1

A partir daqui, a única alternativa que corresponde ao módulo é a letra c).

por Ada Augusta Dom 17 Dez 2023, 10:43

Como você achou -1 e 1? Quero dizer, eu até consegui encontrar as raízes, mas não consegui estudar o módulo.

por **Elcioschin** Dom 17 Dez 2023, 13:06

A função f(x) NÃO tem raízes reais: ela nunca toca o eixo x

f(x) = |x + √(x² - 1)|

Restrição do radicando ---> x² - 1 ≥ 0 ---> Domínio x ≤ -1 e x ≥ 1

Isto significa que a função não existe no intervalo - 1< x < 1
Para entender melhor, construa o gráfico de f(x) assim:

Para x = -1 ---> f(-1) = 1
Para x = +1 --> f(+1) = 1
Para x = -2 ---> f(-2) = |-2 + √3| ~= 0,268
Para x = +2 --> f(+2) = |2 + √3| ~= 2,73

Para x tendendo a -∞, o valor de f(x) tende para zero, isto é, o gráfico é assintótico ao eixo x negativo.

Para x tendendo a +∞, o valor de f(x) tende para +∞

por Ada Augusta Dom 17 Dez 2023, 13:36

Entendi, erro meu. Essa informação, inclusive, é dada no enunciado. De qualquer forma, seguindo essa ideia, a única forma de f(-2) ~= 0,268, assim como para todos valores menores ou iguais a 1 seja positivo, é se utilizada a equação -x -√(x²-1). Obrigada pela ajuda!