Integral Definida

por LUFER Qua 08 Nov 2023, 17:40

Olá eu estou com dificuldade referente a integral definida ∫(((x^(2))/((1+x^(3))^(2))) b=1 a=0 sendo que a regra b-a

quando fiz a integral a sua resposta foi ((−1)/(3*(x^(3)+1))) (fiz corretamente), porém quando substituir x por 1 e depois x zero o valor deveria ser -1/6 , fazendo calculadora de forma completa o resultado foi igual, mas com sinal positivo (1/6).

0 que fiz de errado ? Existe outra regra?

por **Giovana Martins** Qua 08 Nov 2023, 17:52

[latex]\\\mathrm{ \ \ \ \ \ \ Sendo\ t=x^3+1\ \therefore\ dt=3x^2dx\ \therefore\ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x=0\to t=1}\\ \mathrm{x=1\to t=2} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx=\frac{1}{3}\int_{1}^{2}\frac{1}{t^2}dt=\frac{1}{3}\left [ -\frac{1}{t} \right ]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\cdot \left ( -\frac{1}{2}+1 \right )=\frac{1}{6}}[/latex]

por LUFER Qui 09 Nov 2023, 08:07

Giovana Martins escreveu:
[latex]\\\mathrm{ \ \ \ \ \ \ Sendo\ t=x^3+1\ \therefore\ dt=3x^2dx\ \therefore\ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x=0\to t=1}\\ \mathrm{x=1\to t=2} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx=\frac{1}{3}\int_{1}^{2}\frac{1}{t^2}dt=\frac{1}{3}\left [ -\frac{1}{t} \right ]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\cdot \left ( -\frac{1}{2}+1 \right )=\frac{1}{6}}[/latex]

Obrigado pela ajuda, mas ainda estou com dúvida, porque tenho acrescentar uma soma no valor de B e A situação, B=1 PARA 2 E A= 0 PARA 1 ?
por favor você tem alguma fonte que fala sobre esse ponto, estou utilizando o livro Um Curso para Cálculo Volume 1 chegando nessa parte da equação com integral definida, demonstra esses exercícios com outros valores (é claro), mas não fazendo esse acréscimo de um no ponto a e no ponto b

por **Giovana Martins** Qui 09 Nov 2023, 22:55

Você apenas está se atrapalhando com os sinais.

Definição 1:

[latex]\\\mathrm{\int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b)}[/latex]

Definição 2:

[latex]\\\mathrm{\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/latex]

A partir da definição 2:

[latex]\\\mathrm{\int \frac{1}{t^2}dt=\int t^{-2}dt=\frac{t^{-2+1}}{-2+1}=-t^{-1}=-\frac{1}{t}}[/latex]

É daqui que surge o sinal negativo em relação ao termo 1/t. Note que eu omiti a constante, para facilitar a explicação.

Agora, a partir da definição 1, aplicando os limites de integração tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{1}{3}\int_{1}^{2}\frac{1}{t^2}dt=\frac{1}{3}\left [ -\frac{1}{t} \right ]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left [F(2)-F(1) \right ]=\frac{1}{3}\left [\left ( -\frac{1}{2} \right )-\left ( -\frac{1}{1} \right ) \right ]=\frac{1}{6}}[/latex]

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