(ITA-1960) Calculo Diferencial

1) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações

Se [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\alpha }=1[/latex]; [latex]\alpha >0[/latex] e [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\alpha ^n=0[/latex]; [latex]\begin{vmatrix}
\alpha  \\ 
\end{vmatrix}<1[/latex]

então podemos concluir que:

a) [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}[/latex]{[latex]{\sqrt[n]{\alpha} +\alpha^n}[/latex]}=1
b) [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\alpha ^{\frac{1+n^2}{n}}=0[/latex]
c) [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\alpha ^{\frac{1-n^2}{n}}=1[/latex]

Spoiler:

Os limites existem, logo o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites, etc.

a) [latex] \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(\sqrt[n]{a} + a^n \right) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} + \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{n} = 1+0 = 1[/latex]

b) [latex] \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1+n^2}{n}}= \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n} + n} =  \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}} \cdot a^n = \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}} \cdot  \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^n =1\cdot 0 = 0  [/latex]

b) [latex] \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1-n^2}{n}}= \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n} -n} =  \displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}} \cdot \dfrac{1}{a^n}  [/latex]. Dá uma indeterminação da forma 1/0, ou seja + ou - infinito.

Reposta: a) e b) corretas.