(ITA-1959) Inscreve-se um cubo C em uma esfera E

3.3) Inscreve-se um cubo [latex]C[/latex] em uma esfera [latex]E[/latex]. Nesse cubo inscreve-se uma esfera [latex]E'[/latex]. Inscreve-se um novo cubo [latex]C'[/latex] na esfera [latex]E'[/latex]. A área total do cubo [latex]C'[/latex] é [latex]\frac{2}{3\pi}S[/latex], onde S é a área da esfera [latex]E[/latex].

A afirmativa é VERDADEIRA ou FALSA (demonstre)?

Spoiler:

Só precisa ter paciência e atenção.

Existe uma esfera E de superfície S. Como E tem diâmetro D sua superfície é dada por S = π.D². Então vamos guardar que

Inscrito em E está o cubo C, logo sua diagonal é D (o mesmo diâmetro de E). O cubo C tem aresta a, então

Inscrito em C temos a esfera E' cujo diâmetro D' = a (3).

E finalmente, inscrito em E' temos o cubo C'. Analogamente ao 2º parágrafo, C' tem aresta a' e diagonal D' (diâmetro de E'). Em relação a a', a diagonal D' vale

(2) em (4), vem:  

A superfície de C' é dada por

(1) em (5):

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Neste caso eram somente dois cubos inscritos e o mais prático é fazer isso mesmo. Se fossem, porém, 10 cubos inscritos sequencialmente seria mais vantajoso aplicar PG.
Note que a razão entre as arestas é
Mas como