Fatores da expressão

Um dos fatores da expressão a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² é:

a) a² + b² + c² + 2ab

b) a² + b² -c² - 2ab

c) a² + b² + c² -2ab

d) a² - b² - c² + 2ab

e) a - b - c

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc²


Repare que a⁴ + b⁴ - 2a²b²  = (a² - b²)². Com isso

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = (a² - b²)² - c⁴ + 4abc² = (a-b)²(a+b)² - c⁴ + 4abc²

A primeira coisa que geralmente vem a mente agora seria fatorar a diferença de quadrados que aparece, mas depois de tentar e ver que não da em nada, temos que tentar outra abordagem. Um truque aqui é escrever  4ab = (a+b)² - (a-b)². Com isso essa expressão fica mais fácil de lidar:

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = (a-b)²(a+b)² - c⁴ + (a+b)²c² - (a-b)²c²

E fica bem mais facil de ver a fatoração por agrupamento:

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = ( (a+b)² - c²) ((a-b)²+ c²)
a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = (a + b - c) (a + b + c) ((a²  + b² + c² - 2ab)

Com isso encontramos a resposta.

Esse polinomio tem muitas simetrias, e a abordagem anterior basicamente consiste em explorar algumas delas. Pra isso ficar mais claro, poderíamos ter considerado por exemplo a mudança de variável x = a+b e y = a-b. Isso implica que:

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = x²y² - c⁴ + (x²- y²)c²

que é bem mais fácil de fatorar:

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = (x² - c²)(y²+c²) = (x-c)(x+c)(y²+c²)

Desfazendo a mudança de variável fica:

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² = (a + b -c)(a-b+c)((a-b)²+c²)


Outro truque que pode ser explorado pelo fato da questão ser de multipla escolha é o seguinte:
Seja p(a,b,c) = a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 4abc² um polinomio em 3 variaveis. Supondo que existe uma fatoração
p(a,b,c) = r(a,b,c)s(a,b,c)
E colocando algumas restrições sobre a,b,c podemos eliminar algumas alternativas. Mas isso não funciona bem nessa questão (só consegui eliminar uma alternativa).