Linhas das matrizes

Ao trocarem as linhas de lugar de um sistema linear, é sabido que não altera a solução. 

Mas e ao trocarem as linhas de lugar da matriz desse sistema, isso afetará seu determinante?

Sim, afeta.

Em geral, mexer numa matriz é mais complicado. Dizemos que essas operações de trocar as linhas e aplicar uma combinação linear resulta em matrizes linha-equivalentes, que são objetos de análise à luz do Teorema de Rouché-Capelli. Nesse tipo de análise, trocar as linhas de uma matriz altera seu determinante, mas não sua "característica"¹, que determinará se o sistema tem solução ou não; é um estudo bem particular.

Agora, quando falamos de determinantes, temos muito mais liberdade. Nesse caso, trocar uma linha ou uma coluna de lugar com outra tem como único efeito trocar o sinal do determinante. Por exemplo:

[latex]\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix}[/latex]

A demonstração formal disso se encontra na página 97 do vol.4 do Fundamentos de Matemática Elementar; o de Rouché-Capelli, na página 180 da mesma obra.

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1: Seja A uma matriz qualquer e A' uma matriz escalonada, linha-equivalente a A. Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por ρ (A), ao número de linhas não nulas de A'.

Obrigada novamente, Lucas!