DÚVIDA SOBRE FUNÇÃO INVERSA

estou com uma dúvida, mas preciso mostrar uns exemplos pra explicar:

QUESTÃO: Se f(x) = x + 2 / 2  determine f^-1(2)

para determinar, posso tanto procurar a fórmula da função inversa de f(x), que no caso é 2x -2 = y, quanto apenas trocar o f(x) por 2 na fórmula original e fazer o cálculo como 2 = x + 2 /2

em ambos os casos o resultado é 2.

A minha dúvida é: por que isso não ocorre com f(x) = x + 3 / x-3?




obs:espero que tenham entendido a pergunta, qualquer coisa respondo os reply

\[
f(x) = \frac{ x + 3 }{ x - 3 }
\]
Aplicando a inversa de \( f \):
\[
f^{-1}\left( f(x) \right) = x = f^{-1}\left( \frac{x + 3 }{ x- 3} \right)
\]
Substituição de variáveis:
\[
u = \frac{ x + 3 }{ x -3 } \Leftrightarrow x = \frac{ 3 ( 1 + u ) }{u - 1 }
\]
Assim, \( f^{-1}(2) = 9\):
\[
f^{-1} ( u ) = \frac{3 ( u + 1 )}{u - 1 }
\]
Fazendo do jeito usual:
\[
f(x) = \frac{ x +3 }{x-3} \Leftrightarrow x = \frac{ 3 ( 1 + f(x) )}{f(x) - 1}
\]
Encontrar \( f^{-1} (2)\) é o mesmo que se perguntar: a que abscissa corresponde uma imagem igual a 2? Ou seja, devemos encontrar o valor de \(x\) para o qual \(f(x) = 2\). Logo,
\[
x = \frac{3 ( 1 + 2 ) }{2-1} = 9
\]

al171 escreveu:\[
f(x) = \frac{ x + 3 }{ x - 3 }
\]
Aplicando a inversa de \( f \):
\[
f^{-1}\left( f(x) \right) = x = f^{-1}\left( \frac{x + 3 }{ x- 3} \right)
\]
Substituição de variáveis:
\[
u = \frac{ x + 3 }{ x -3 } \Leftrightarrow x = \frac{ 3 ( 1 + u ) }{u - 1 }
\]
Assim, \( f^{-1}(2) = 9\):
\[
f^{-1} ( u ) = \frac{3 ( u + 1 )}{u - 1 }
\]
Fazendo do jeito usual:
\[
f(x) = \frac{ x +3 }{x-3} \Leftrightarrow x = \frac{ 3 ( 1 + f(x) )}{f(x) - 1}
\]
Encontrar \( f^{-1} (2)\) é o mesmo que se perguntar: a que abscissa corresponde uma imagem igual a 2? Ou seja, devemos encontrar o valor de \(x\) para o qual \(f(x) = 2\). Logo,
\[
x = \frac{3 ( 1 + 2 ) }{2-1} = 9
\]

Entendi, muito obrigado! Percebi que estava confundindo o conceito de imagem