Pontos Notáveis do Triângulo

Seja ABC o triangulo. Na figura queremos mostrar que

\(AP_A = BP_B + CP_C\)

Isto é, que a soma das medidas dos segmentos azuis tem a medida do segmento vermelho. Seja M o ponto médio do lado BC e N a projeção de M sobre a reta. Notamos que \(BCP_CP_B\) é um trapézio e \(MN \) é sua base média. Daí

\(MN = \dfrac{BP_B + CP_C}2 \)

Por outro lado, os triangulos \(\bigtriangleup AP_AG\) e \( \bigtriangleup MNG\) são semelhantes. Como G é baricentro temos também \( AG = 2 MG\) e portanto:

\( \dfrac{AP_A}{MN} = \dfrac{AG}{MG} = 2 \implies MN = \dfrac{AP_A}{2}\)

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\(\dfrac{AP_A}{2} = \dfrac{BP_B + CP_C}2  \implies \boxed{ AP_A = BP_B+CP_C}\)