Fatoração complicada na resolução de um determinante.
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Fatoração complicada na resolução de um determinante.
por Mikhel Sex 03 Mar 2023, 11:56
Exercício 310; letra b; FME 4.
Gabarito: (a + b + c) (b - a) (a - c) (b - c)
Calcule o determinante com auxílio da regra de Chió:
...a.........b..........c
...a²........b²........c²
b + c....c + a...a + b
Nota: segui resolvendo o exercício até obter uma matriz 2x2, tentei obter o determinante mas não consegui simplicar o produto obtido. Multipliquei a 2ª linha por - a + 1 / a² e adicionei a primeira linha e segui por esse caminho até não conseguir resolver (não sei há uma forma mais simples).
Agradeço desde já.
Gabarito: (a + b + c) (b - a) (a - c) (b - c)
Calcule o determinante com auxílio da regra de Chió:
...a.........b..........c
...a²........b²........c²
b + c....c + a...a + b
Nota: segui resolvendo o exercício até obter uma matriz 2x2, tentei obter o determinante mas não consegui simplicar o produto obtido. Multipliquei a 2ª linha por - a + 1 / a² e adicionei a primeira linha e segui por esse caminho até não conseguir resolver (não sei há uma forma mais simples).
Agradeço desde já.
Mikhel- Iniciante
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Re: Fatoração complicada na resolução de um determinante.
por al171 Sáb 04 Mar 2023, 01:21
Faça \( -C_1 + C_2 \to C_2 \) e \( -C_1 + C_3 \to C_3 \), e depois, extraia os termos comuns residuais:
\[
\begin{align*}\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ b + c & c + a & a + b \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b - a & c -a \\ a^2 & b^2 - a^2 & c^2 - a^2 \\ b + c & a - b & a - c \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ a^2 & b + a & c + a \\ b + c & - 1 & - 1 \end{vmatrix} \\
& = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} - ac & b-c \\ a + b + c & 0 \end{vmatrix} \\
& = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) \\
& = (a+b+c)(b-a)(a-c)(b-c)\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ b + c & c + a & a + b \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b - a & c -a \\ a^2 & b^2 - a^2 & c^2 - a^2 \\ b + c & a - b & a - c \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ a^2 & b + a & c + a \\ b + c & - 1 & - 1 \end{vmatrix} \\
& = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} - ac & b-c \\ a + b + c & 0 \end{vmatrix} \\
& = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) \\
& = (a+b+c)(b-a)(a-c)(b-c)\end{align*}
\]
al171- Fera
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