questão de geometria (pirâmides, cones)

Seja \(h_2\) a altura da face de área \(S_2\)  e \(H\) a altura do tetraedro em relação a face de área \(S_1\). Como o angulo entre essas faces é \(\alpha\) segue que

\( \textrm{sen }\! \alpha = \dfrac{H}{h_2} \implies \boxed{H = h_2 \textrm{ sen }\! \alpha}\)

Por outro lado, a área de um triangulo é dado pelo semiproduto da base pela altura. Ou seja

\( S_2 = \dfrac{ a h_2}{2} \implies \boxed{ h_2 \dfrac{2S_2}{a}}\)

Com isso, como o volume de um tetraedro é dado pelo produto da área da base pela altura dividida por 3, temos:

\(V  = \dfrac{S_1 H}3 = \dfrac{S_1 h_2 \textrm{ sen }\! \alpha}3 = \dfrac{S_1 \cdot \dfrac{2 S_2}a \cdot \textrm{ sen }\! \alpha} 3 \implies \boxed{V = \dfrac{2S_1S_2 \textrm{ sen }\! \alpha}{3a}}\)