Maximizar o volume de uma caixa retangular.

por gabrielshiva Dom 26 Fev 2023, 11:54

[Essa é uma questão de cálculo 2]

Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r.

A função que encontrei para o volume da caixa é a seguinte:

Código:: [latex]V(x,y,z)=8xyz[/latex]

Colocando V em função, apenas, de x e y, temos:

Código:: [latex]V(x,y) = 8xy\sqrt{r^2-x^2-y^2}[/latex]

Em seguida deve-se fazer as derivadas parciais com relação a x e a y, porém, isso irá resultar em um sistema não linear com raízes, e é a partir daí que eu parei.

O que eu posso fazer pra simplificar essas contas? Alguma alternativa?

por **Elcioschin** Dom 26 Fev 2023, 14:16

Uma tentativa. Sugiro fazer um desenho:

Imagine o centro da caixa e da esfera na origem das coordenadas cartesianas.

Vamos imaginar que x é a dimensão maior, paralela ao eixo x e z é a altura

(x/2) + (y/2)² = r² ---> y² = 4.r² - x²

(x/2) + (z/2)² = r² ---> z² = 4.r² - x²

V = x.y.z ---> V² = x².y².z² ---> V² = x².(4.r² - x²).(4.r² - x²)

Se V é máximo V² também é máximo. Basta derivar.

por **Giovana Martins** Dom 26 Fev 2023, 14:21

Penso que seja isso.

[latex]\\\mathrm{Seja\ a\ esfera\ x^2+y^2+z^2=r^2.\ Seja,tamb\acute{e}m,V_{Caixa}=V(x,y,z)=8xyz.}\\\\ \mathrm{Sendo\ x^2+y^2+z^2=r^2,logo,z=\sqrt{r^2-x^2-y^2}\ \therefore\ V(x,y)=8xy\sqrt{r^2-x^2-y^2}\ (I)}\ .\\\\ \mathrm{\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( 8xy\sqrt{r^2-x^2-y^2} \right )=\frac{8y(r^2-2x^2-y^2)}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}=0\to 2x^2+y^2=r^2\ (II)}\\\\ \mathrm{\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( 8xy\sqrt{r^2-x^2-y^2} \right )=\frac{8x(r^2-x^2-2y^2)}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}=0\to x^2+2y^2=r^2\ (III)}\\\\ \mathrm{De\ (II)\ e\ (III):(x,y)=\left ( \frac{r}{\sqrt{3}},\frac{r}{\sqrt{3}} \right )\ \therefore\ \ De\ (I):V_{m\acute{a}x}=V\left ( \frac{r}{\sqrt{3}},\frac{r}{\sqrt{3}} \right )=\frac{8r^3}{3\sqrt{3}}}[/latex]

por gabrielshiva Dom 26 Fev 2023, 16:37

Muito obrigado! Não tinha percebido que eu poderia olhar apenas para o numerador.

por DaoSeek Dom 26 Fev 2023, 17:36

Por multiplicadores de lagrange:

Queremos maximizar V(x,y,z) = 8xyz sujeito a restrição f(x,y,z) = x²+y²+z² - r² = 0

Como \( \nabla V = (8yz, 8xz, 8xy) \) e \(\nabla f = (2x,2y,2z) \), o ponto de máximo procurado caso exista também ira satisfazer as equações

\( \left \{ \begin{array}{l}
x = \lambda yz \\
y = \lambda xz \\
z = \lambda yz
\end{array} \right.\)

No sistema acima, caso uma das variaveis seja nula, as demais tambem o são. Como x²+y²+z² = r, segue que x,y,z,λ não são nulos. Daí:

\( x = \lambda yz \implies x = \lambda ( \lambda xz) z \implies 1 = \lambda^2 z^2 \implies z^2 = \ \dfrac 1 {\lambda^2} \)

Por equações análogas concluímos que \( |x| = |y| = |z|\). Usando \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) concluímos que \(|x| = |y| =|z| = \dfrac{r\sqrt 3}{3} \) . Disso segue que \(x = y = z = \dfrac{ r \sqrt 3}3 \) é ponto de máximo de V. Ou seja, o volume máximo ocorre exatamente quando a caixa tem formato cúbico e seu valor é:

\( \boxed{V_{\textrm{max}} = 8 \left(\dfrac{r \sqrt{3}}3\right)^3 = \dfrac{8 r^3 \sqrt 3}9 }\)

Outra maneira, usando desigualdade das médias.

Sejam x,y,z positivos tais que x²+y²+z² = r². Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica temos:

\( \dfrac{x^2+y^2+ z^2}{3} \geq \sqrt[3] {x^2y^2z^2} \implies \left( \dfrac{r^2}3 \right)^3 \geq \left( \sqrt[3]{x^2 y^2z^2} \right)^3 \implies \)

\( \dfrac{r^6}{27} \geq (xyz)^2 \implies \sqrt{\dfrac{r^6}{27}} \geq xyz = \dfrac{V}8 \implies \boxed{V \leq \dfrac{8 r^3}{3 \sqrt 3} }\)

por **Giovana Martins** Dom 26 Fev 2023, 17:40

DaoSeek escreveu:
Por multiplicadores de lagrange:

Queremos maximizar V(x,y,z) = 8xyz sujeito a restrição f(x,y,z) = x²+y²+z² - r² = 0

Como \( \nabla V = (8yz, 8xz, 8xy) \) e \(\nabla f = (2x,2y,2z) \), o ponto de máximo procurado caso exista também ira satisfazer as equações

\( \left \{ \begin{array}{l}
x = \lambda yz \\
y = \lambda xz \\
z = \lambda yz
\end{array} \right.\)

No sistema acima, caso uma das variaveis seja nula, as demais tambem o são. Como x²+y²+z² = r, segue que x,y,z,λ não são nulos. Daí:

\( x = \lambda yz \implies x = \lambda ( \lambda xz) z \implies 1 = \lambda^2 z^2 \implies z^2 = \ \dfrac 1 {\lambda^2} \)

Por equações análogas concluímos que \( |x| = |y| = |z|\). Usando \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) concluímos que \(|x| = |y| =|z| = \dfrac{r\sqrt 3}{3} \) . Disso segue que \(x = y = z = \dfrac{ r \sqrt 3}3 \) é ponto de máximo de V. Ou seja, o volume máximo ocorre exatamente quando a caixa tem formato cúbico e seu valor é:

\( \boxed{V_{\textrm{max}} = 8 \left(\dfrac{r \sqrt{3}}3\right)^3 = \dfrac{8 r^3 \sqrt 3}9 }\)

Outra maneira, usando desigualdade das médias.

Sejam x,y,z positivos tais que x²+y²+z² = r². Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica temos:

\( \dfrac{x^2+y^2+ z^2}{3} \geq \sqrt[3] {x^2y^2z^2} \implies \left( \dfrac{r^2}3 \right)^3 \geq \left( \sqrt[3]{x^2 y^2z^2} \right)^3 \implies \)

\( \dfrac{r^6}{27} \geq (xyz)^2 \implies \sqrt{\dfrac{r^6}{27}} \geq xyz = \dfrac{V}8 \implies \boxed{V \leq \dfrac{8 r^3}{3 \sqrt 3} }\)

Obrigada. Gosto muito de resoluções utilizando os conceitos de Desigualdades das Médias. Sem contar que é bem interessante resolver questões mais complexas, que geralmente são vistas no ensino acadêmico, utilizando ferramentas do ensino médio.