Otimização do volume de uma caixa

por Roberta12 Qua 18 maio 2022, 10:32

Olá a todos! Como estão?

Meu problema é o seguinte: Estamos trabalhando com volumes de caixas. Eu preciso descobrir quais os valores de x, y e z de uma caixa, onde se pode obter o maior e o menor volume possível, levando em consideração a seguinte restrição: [latex]x+y+z\leqslant 129cm[/latex]. Onde x=largura, y=comprimento e z=altura da caixa.

Esse problema não possui alternativas nem gabarito.

*edit: A ideia é obter o resultado utilizando cálculos de derivada!

Alguém consegue me ajudar?
Desde já agradeço!

por **tales amaral** Qui 19 maio 2022, 20:15

Supondo [latex]x,y,z \geq 0[/latex], temos que [latex]\dfrac{129 \text{cm}}{3}\geq \dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}[/latex] (desigualdade das médias) [latex]\implies \dfrac{129 \text{cm}}{3}\geq \sqrt[3]{xyz} \implies 43\text{cm} \geq \sqrt[3]{xyz} \implies xyz \leq 43^3\text{cm}^3[/latex]. Temos que o supremo do volume é [latex]43^3\text{cm}^3[/latex]. Ele ocorre quando [latex]x =y=z = 43[/latex].

Creio que seja isso cheers

por Roberta12 Qui 19 maio 2022, 22:14

tales amaral escreveu:Supondo [latex]x,y,z \geq 0[/latex], temos que [latex]\dfrac{129 \text{cm}}{3}\geq \dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}[/latex] (desigualdade das médias) [latex]\implies \dfrac{129 \text{cm}}{3}\geq \sqrt[3]{xyz} \implies 43\text{cm} \geq \sqrt[3]{xyz} \implies xyz \leq 43^3\text{cm}^3[/latex]. Temos que o supremo do volume é [latex]43^3\text{cm}^3[/latex]. Ele ocorre quando [latex]x =y=z = 43[/latex].

Creio que seja isso

Creio que esteja certo e agradeço a resposta! Porém a ideia é provar essas afirmações utilizando derivada. Foi um erro meu não ter especificado isso no tópico.

por Roberta12 Dom 29 maio 2022, 14:55

Roberta12 escreveu:Olá a todos! Como estão?

Meu problema é o seguinte: Estamos trabalhando com volumes de caixas. Eu preciso descobrir quais os valores de x, y e z de uma caixa, onde se pode obter o maior e o menor volume possível, levando em consideração a seguinte restrição: [latex]x+y+z\leqslant 129cm[/latex]. Onde x=largura, y=comprimento e z=altura da caixa.

Esse problema não possui alternativas nem gabarito.

*edit: A ideia é obter o resultado utilizando cálculos de derivada!

Alguém consegue me ajudar?
Desde já agradeço!

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