vetores

A figura abaixo mostra um conjunto de vetores dispostos dentro de um cubo de aresta a. sabendo que h e p são pontos médios das arestas que os contêm, determine o módulo do vetor D= A + B - C

Resposta: [latex]\frac{3a\sqrt{6}}{2}[/latex]



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Olá! Pela figura, temos que os vetores são:

[latex]\\\vec{A}= \begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 0&-a \end{pmatrix}\\\\\vec{B}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{a}{2} &-a \end{pmatrix}\\\\\vec{C}= \begin{pmatrix} a & a & -a \end{pmatrix} [/latex]

Dessa forma:

[latex]\\\vec{D}=\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}= \begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2}&-a \end{pmatrix}\Rightarrow \left |\vec{D} \right |=\sqrt{\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -a \right )^2}\\\\\boxed{\left |\vec{D} \right |=\frac{a\sqrt{6}}{2}} [/latex]

A menos que eu tenha cometido algum erro, creio que o gabarito esteja errado!

Arlindocampos07 escreveu:Olá! Pela figura, temos que os vetores são:

[latex]\\\vec{A}= \begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 0&-a \end{pmatrix}\\\\\vec{B}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{a}{2} &-a \end{pmatrix}\\\\\vec{C}= \begin{pmatrix} a & a & -a \end{pmatrix} [/latex]

Dessa forma:

[latex]\\\vec{D}=\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}= \begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2}&-a \end{pmatrix}\Rightarrow \left |\vec{D} \right |=\sqrt{\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -a \right )^2}\\\\\boxed{\left |\vec{D} \right |=\frac{a\sqrt{6}}{2}} [/latex]

A menos que eu tenha cometido algum erro, creio que o gabarito esteja errado!

Não sei, creio que o gabarito da minha apostila esteja errado...
Outra coisa, não entendi essa soma que você fez, poderia explicar dnv?

Todo vetor pode ser decomposto em uma soma de vetores que coincidem com os eixos coordenados, isso ajuda a facilitar nos cálculos. Para isso, usamos os chamados "versores" (representados com um "^" em cima da letra), que são vetores unitários com direções e sentidos estabelecidos. No caso do sistema XYZ, temos: [latex]\hat{x}\; \; \hat{y}\; \; \hat{z}[/latex]

Usando isso, podemos escrever um vetor qualquer apenas como:

[latex]\vec{V}=a.\hat{x}+b.\hat{y}+c.\hat{z}=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}[/latex]

Em que a, b e c são os módulos desses vetores em cada direção. Sabendo disso, temos a seguinte figura:



Decompondo os vetores:


Portanto, podemos escrever:

[latex]\vec{A}=\frac{a}{2}.\hat{x}+0.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 0 & -a \end{pmatrix}[/latex]


[latex]\vec{B}=0.\hat{x}+\frac{a}{2}.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}[/latex]


[latex]\vec{C}=a.\hat{x}+a.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} a & a & -a\end{pmatrix}[/latex]


Fazendo a soma A + B + (-C), temos:

[latex]\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}=\left (\frac{a}{2}-a \right ).\hat{x}+\left (\frac{a}{2}-a \right ).\hat{y}+(-a-a+a).\hat{z}=\begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}[/latex]

Tendo o vetor resultante, basta aplicarmos o módulo do vetor:

[latex]\vec{D}=\begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}=\sqrt{\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -a \right )^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}[/latex]

Conseguiu compreender melhor?

Arlindocampos07 escreveu:Todo vetor pode ser decomposto em uma soma de vetores que coincidem com os eixos coordenados, isso ajuda a facilitar nos cálculos. Para isso, usamos os chamados "versores" (representados com um "^" em cima da letra), que são vetores unitários com direções e sentidos estabelecidos. No caso do sistema XYZ, temos: [latex]\hat{x}\; \; \hat{y}\; \; \hat{z}[/latex]

Usando isso, podemos escrever um vetor qualquer apenas como:

[latex]\vec{V}=a.\hat{x}+b.\hat{y}+c.\hat{z}=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}[/latex]

Em que a, b e c são os módulos desses vetores em cada direção. Sabendo disso, temos a seguinte figura:



Decompondo os vetores:


Portanto, podemos escrever:

[latex]\vec{A}=\frac{a}{2}.\hat{x}+0.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} \frac{a}{2} & 0 & -a \end{pmatrix}[/latex]


[latex]\vec{B}=0.\hat{x}+\frac{a}{2}.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}[/latex]


[latex]\vec{C}=a.\hat{x}+a.\hat{y}+(-a).\hat{z}=\begin{pmatrix} a & a & -a\end{pmatrix}[/latex]


Fazendo a soma A + B + (-C), temos:

[latex]\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}=\left (\frac{a}{2}-a \right ).\hat{x}+\left (\frac{a}{2}-a \right ).\hat{y}+(-a-a+a).\hat{z}=\begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}[/latex]

Tendo o vetor resultante, basta aplicarmos o módulo do vetor:

[latex]\vec{D}=\begin{pmatrix} -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -a\end{pmatrix}=\sqrt{\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -\frac{a}{2} \right )^2+\left ( -a \right )^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}[/latex]

Conseguiu compreender melhor?

Hm, entendi perfeitamente. Obrigada!