Ângulos em um quadrilátero - CMRJ
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Ângulos em um quadrilátero - CMRJ
por Guilherme-Fernandes-1985 Sex 17 Fev 2023, 14:05
QUESTÃO DO CMRJ 2022/2023
A figura a seguir ilustra um quadrilátero convexo ABCD, com as suas diagonais AC e BD formando ângulos de [latex]30^{\circ}[/latex], [latex]40^{\circ}[/latex], [latex]50^{\circ}[/latex] e [latex]70^{\circ}[/latex].
Se o ponto E é a interseção das diagonais, então a medida do ângulo [latex]E\hat{D}C[/latex] mede
(A) [latex]85^{\circ}[/latex]
(B) [latex]80^{\circ}[/latex]
(C) [latex]75^{\circ}[/latex]
(D) [latex]72^{\circ}[/latex]
(E) [latex]70^{\circ}[/latex]
Guilherme-Fernandes-1985- Padawan
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Re: Ângulos em um quadrilátero - CMRJ
por DaoSeek Sex 17 Fev 2023, 16:41
Resumidamente:
Tome F sobre o lado BC de forma que o angulo BFD seja reto. Isso implica que o angulo FDB mede 40°
Notamos que o triangulo ABD é isosceles. Tome G sobre DF de forma que DG = DB = DA. Disso segue que ABD e BGD são congruentes, e portanto, ABG é isosceles.
Visto que EH é paralelo a BG, segue que GAH e BCE já que possuem angulos iguais e BE = GH. Isso implica que ADG e BDC são congruentes. Logo o angulo EDC tem mesma medida que ADG. Ou seja, mede 80°
Tome F sobre o lado BC de forma que o angulo BFD seja reto. Isso implica que o angulo FDB mede 40°
Notamos que o triangulo ABD é isosceles. Tome G sobre DF de forma que DG = DB = DA. Disso segue que ABD e BGD são congruentes, e portanto, ABG é isosceles.
Visto que EH é paralelo a BG, segue que GAH e BCE já que possuem angulos iguais e BE = GH. Isso implica que ADG e BDC são congruentes. Logo o angulo EDC tem mesma medida que ADG. Ou seja, mede 80°
DaoSeek- Recebeu o sabre de luz
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Re: Ângulos em um quadrilátero - CMRJ
por DaoSeek Sex 17 Fev 2023, 16:46
Outra maneira:
O angulo ADB mede 40° e o angulo BCA mede 20°. Como ABD é isosceles, a circunferencia de centro D passando por A e por B deve passar também por C, pois ADB é angulo central e BCA enxerga o mesmo arco. Disso segue que EDC mede 80°, já que é o dobro de BAC, que mede 40°
O angulo ADB mede 40° e o angulo BCA mede 20°. Como ABD é isosceles, a circunferencia de centro D passando por A e por B deve passar também por C, pois ADB é angulo central e BCA enxerga o mesmo arco. Disso segue que EDC mede 80°, já que é o dobro de BAC, que mede 40°
DaoSeek- Recebeu o sabre de luz
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