|Eq. Algébricas| - Soma dos coeficientes igual a 0

por Arlindocampos07 Ter 17 Jan 2023, 16:59

Estava vendo a resolução de uma questão quando o professor usou a propriedade de que "polinômios cuja soma dos coeficientes é nula têm 1 como raiz". No entanto, não me recordo de ele ter mencionado tal propriedade nas aulas que se passaram antes desse exercício.

Alguém sabe me informar se existe um nome para esse Teorema ou se, pelo menos, existe alguma demonstração para tal?

por catwopir Ter 17 Jan 2023, 17:19

aoba!

Pior que é um pouco intuitivo. pensa assim:

x²+x-2

se você trocar o x por 1 a soma da zero.
percebe que se a soma dos coeficiente da zero, troca o x por 1 apenas confirma isso, pois multiplicar por 1 não muda em nada.

outro exemplo:
x³-4x²+5x-2
trocando o x por 1, verá que a soma dá 0.
é apenas um "bizu" pra achar uma raiz.

por Arlindocampos07 Ter 17 Jan 2023, 18:08

catwopir escreveu:aoba!

Pior que é um pouco intuitivo. pensa assim:

x²+x-2

se você trocar o x por 1 a soma da zero.
percebe que se a soma dos coeficiente da zero, troca o x por 1 apenas confirma isso, pois multiplicar por 1 não muda em nada.

outro exemplo:
x³-4x²+5x-2
trocando o x por 1, verá que a soma dá 0.
é apenas um "bizu" pra achar uma raiz.

Sim, sim! Entendi agora.

Eu tinha esquecido de relacionar o fato de que o p(1) de um polinômio p(x) é igual à soma dos coeficientes! Obrigado pela ajuda!

por Avicena Ter 17 Jan 2023, 22:29

O nome disso é Teorema de Rolle ou Teorema do Valor Médio (de Rolle) afirma que se uma função contínua num intervalo fechado e diferenciável em seu interior tem o mesmo valor em dois pontos distintos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto no qual a derivada da função é nula.:a soma dos coeficientes é nula, então a função tem o mesmo valor (0) para x=1 e x=-1, e existe pelo menos uma raiz nessa função, que é 1.

Como nosso colega já deu um exemplo, eu dou um adendo.