Combinatória - Simulado Espcex

Considere:

• 3 Cadetes do 1ºano da AMAN;
• 4 Cadetes do 2ºano da AMAN;
• 4 Cadetes do 3ºano da AMAN; e
• 2 Cadetes do 4ºano da AMAN.

O número de maneiras de se sentarem, em fila, de modo que os cadetes de um mesmo ano sentem juntos é:

A)6.912
B)165.888
C)3.456
D)24
E)27.648

---

Solução do professor:

Para que cada cadete sente junto com seus colegas do mesmo ano, temos que primeiro escolher a ordem dos anos que se sentarão. Assim:

4! = Número de ordenações dos anos

Agora, temos que ordenar cada cadete em seu respectivo “grupo”.

1° ano = 3!
2° ano = 4!
3° ano = 4!
4° ano = 2!

Assim, o número de maneiras de, em fila, os cadetes de um mesmo ano sentarem juntos é:

4! .3! 4! .4! .2! = 24.6.24.24.2 = 165.888

GABARITO: B

---

Por que seria errado fazer: 4! (3! + 4! +4! +2!) ??
Não entendi o motivo de multiplicar.

Porque, neste caso, o total de permutações das classes é dado pelo produto das permutações individuais.

Veja um exemplo para 2 cadetes do 4º ano (A, B) e 3 cadetes do 1º ano (C, D, E):

AB ---> 2! = 2 ---> CDE ---> 3! = 6 ---> Total = 2.6 = 12 ---> 

ABCDE, ABCED, ABDCE, ABDEC, ABECD, ABEDC
BACDE, BACED, BADCE, BADEC, BAECD, BAEDC

E ainda falta multiplicar pela fatoração das duas classes ---> 2! = 2 ---> Total geral = 2.12 = 24

Obrigado, Mestre Elcio!

Jvictors021 escreveu:Considere:

• 3 Cadetes do 1ºano da AMAN;
• 4 Cadetes do 2ºano da AMAN;
• 4 Cadetes do 3ºano da AMAN; e
• 2 Cadetes do 4ºano da AMAN.

O número de maneiras de se sentarem, em fila, de modo que os cadetes de um mesmo ano sentem juntos é:

A)6.912
B)165.888
C)3.456
D)24
E)27.648

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Solução do professor:

Para que cada cadete sente junto com seus colegas do mesmo ano, temos que primeiro escolher a ordem dos anos que se sentarão. Assim:

4! = Número de ordenações dos anos

Agora, temos que ordenar cada cadete em seu respectivo “grupo”.

1° ano = 3!
2° ano = 4!
3° ano = 4!
4° ano = 2!

Assim, o número de maneiras de, em fila, os cadetes de um mesmo ano sentarem juntos é:

4! .3! 4! .4! .2! = 24.6.24.24.2 = 165.888

GABARITO: B

---

Por que seria errado fazer: 4! (3! + 4! +4! +2!) ??
Não entendi o motivo de multiplicar.

Olá, Victor! Gostaria apenas de fazer um adendo, visto que o nosso colega Elcio já respondeu muito bem a questão.

Eu estava dando uma revisada em Análise Combinatória e acabei me lembrando de uma conhecida regrinha quanto ao uso do operador de soma ou de multiplicação. Ela está bem exemplificada nesta pergunta aqui do fórum: https://pir2.forumeiros.com/t30935-somar-ou-multiplicar ("Somar ou Multiplicar?"), respondida pelo JoaoGabriel.

Embora não esteja muito elaborada, pode dar um caminho interessante para um macete que, em sua essência, traz a ideia explicada na resposta do Mestre.

Aplicando o atalho ao fazermos a permutação de todos os grupos de alunos, temos que é NECESSÁRIO, obrigatoriamente, que eles existam em conjunto.

Supondo, portanto, que tenhamos o grupo A (com os alunos João e Victor) e o grupo B (com os alunos Marcelo, Tomas e Ana).

O que queremos, em um primeiro momento, é o grupo A (2 alunos, portanto 2!) E (ênfase no "e") o grupo B (3 alunos, logo 3!), juntos, coexistindo no cenário hipotético da análise combinatória. Repetindo o que acabo de falar, temos que é necessário, obrigatoriamente, que eles existam em conjunto.

Como vimos na pergunta do link acima, 
E = multiplicação
OU = soma


Consequentemente, tem-se que aplicaremos (grupo A)! x (grupo B)!

(A resolução seria diferente caso quiséssemos o grupo A OU  o grupo B. Simplificando mais ainda a exemplificação, se temos 3 camisas OU 2 camisetas, temos 3+2=5. Se temos 3 camisas E 2 calças, temos 3*2=6)

O resto da dedução acredito que você seja capaz de inferir.

Espero ter colaborado um pouquinho. Esta dica me ajuda bastante quando esqueço do princípio por trás da coisa. Evidentemente, nada substitui entender a teoria, o modo como ela se aplicará, suas "reivindicações e caprichos" - mas toda ajuda é bem vinda

Muito obrigado, Renato.
Com certeza você contribuiu muito com meu apredizado...

Um abraço para você meu caro!