Soma de série infinita

Olá, me ajudem, por favor!!!

Considere o conjunto infinito 
{1,2,3,4,6,8,9,12,16,18, 24, 27 ,32,36,...} que, além do número 1,  
é formado por todos os números naturais cujos únicos fatores primos 
são 2 ou 3.  A soma dos inversos de todos os elementos do conjunto dado é?

Olá Hugo;

Veio ao lugar certo, aplicando o inverso nos elementos:



Separando em três casos:

i) Relacionados aos fatores primos de 2.



ii) Relacionados aos fatores primos de 3.



iii) Relacionados aos fatores de 6.



Logo:



Tens o gabarito?

qedpetrich escreveu:Olá Hugo;

Veio ao lugar certo, aplicando o inverso nos elementos:



Separando em três casos:

i) Relacionados aos fatores primos de 2.



ii) Relacionados aos fatores primos de 3.



iii) Relacionados aos fatores de 6.



Logo:



Tens o gabarito?

Gabarito deu 3, meu amigo! Não entendi por que utilizou o primos de 6 também?

Hugo

Bem-vindo ao fórum piR2
Para ser bem atendido vc precisa conhecer e seguir nossas Regras.
Nesta questão vc não seguiu a Regra XI: Se souber o gabarito, a postagem é obrigatória, junto com o enunciado.
Por favor, leia todas as Regras e siga-as nas próximas postagens!

{1,2, 3, 4 ,6, 8, 9, 12, 16,18, 24, 27, 32, 36,...}

Em verde = potências de 2
Em azul = potências de 3
Em vermelho = produtos apenas de 2 e 3

Note que não aparecem múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...) de 7 (7, 14, 21, 28 ...) nem de 11 (11, 22, 33 ...) nem de outros fatores primos (13, 17, 19, ...).

Acredito que o gabarito esteja errado, ou errei algo?

Boa tarde, pessoal. 

Colega qedpetrich: Ao considerar apenas os fatores de 6, você elimina alguns fatores, por isso sua soma foi inferior a 3, porém próxima. 

Exemplo de fatores que você eliminou: 2²*3 = 2*6, 2*3² = 18, etc. Ou seja, há fatores da forma 2^l * 3^m, onde l e m não são necessariamente iguais. Quando l = m, teremos: 

2^l * 3^l = 6^l, que foi o que você calculou no último passo. No entanto, isso elimina os fatores para os quais l e m são diferentes. Segue a seguir o cálculo da soma do inverso desses fatores.



















Script básico em python que tenta resolver o problema na "força bruta". Quanto maior o valor de n, mais a soma tende a 3.

Código:

import numpy as np

n = 100 # quantidade de fatores

L2 = np.array([1/2**i for i in range(1,n+1)])
S2 = sum(L2)

L3 = np.array([1/3**i for i in range(1,n+1)])
S3 = sum(L3)

L23 = np.array([1/2**i * L3 for i in range(1, n+1)]).ravel()
S23 = sum(L23)

S = 1 + S2 + S3 + S23

print('Valor total: {}'.format(S))


Verdade Gilberto, desconsiderei esse caso mencionado, obrigado por esclarecer.

@Elcioschin @qedpetrich @gilberto97
Obrigado a todos pela ajuda!!!