Série infinita

por carolzinhag3 Qui 22 Mar 2018, 21:17

No item abaixo, encontre a série infinita que produz a sequencia de somas parciais dada.

${sn} = \frac{2n}{3n+1}$

por GFMCarvalho Sáb 24 Mar 2018, 20:07

Olá!

Problemas desse tipo podem gerar problemas e serem maldosos. Entretando, podemos ser mais e contornar a situação :pirat:

Para isso, vamos nos lembrar das Séries Telescópicas.

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (b_{k} - b_{k+1}) = b_0 - b_{n}

Veja que temos dada a soma parcial, e podemos escolher que ela seja o resultado de uma soma telescópica!

Assim, precisamos que:

b_0 - b_{n} = \dfrac{2n}{3n+1}

Vamos analisar a soma dada e operar com ela de modo conveniente:

\dfrac{2n}{3n+1} = \dfrac{(3n+1) - (n+1)}{3n+1}=1-\dfrac{n+1}{3n+1}

Notou algo?

A sequência

b_n = \dfrac{n+1}{3n+1}

Satisfaz nossa condição.

Logo, temos a sequência procurada, b_k - b_{k+1}:

\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{k+1}{3k+1}-\dfrac{k+2}{3k+4}\right) = \dfrac{2n}{3n+1}

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