Equação da superfície

por Violeiro Sex 11 Nov 2011, 23:09

a) - A equação da superfície gerada pela rotação da curva:

$\dpi{110} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\ \ z=0$

Ao redor do eixo maior é:

$\dpi{110} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1$

b) - A equação da superfície gerada pela rotação da curva:

$\dpi{110} z=-2y^{2}\ \ x=0$

Eixo OZ é:

$\dpi{110} z=-2x^{2}-2y^{2}$

Qual questão é verdadeira.

por Violeiro Dom 13 Nov 2011, 10:52

a) - A equação da superfície gerada pela rotação da curva:

$\dpi{110} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\ \ z=0$

Ao redor do eixo maior é:

$\dpi{110} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1$

Resolução:

$\dpi{150} x^{2}+z^{2}=r^{2}$

$\dpi{150} r=x=2\ \sqrt{\frac{1-y^2}{16}}$

$\dpi{150} r^2=4.\left ( \frac{1-y^2}{16} \right )=\frac{4-y^2}{4}$

$\dpi{150} r^2=\frac{16-y^2}{4}$

$\dpi{150} {\color{Red} Substituindo\ r^{2}\ na\ equac\tilde{a}o\ do\ circulo\ temos:}$

$\dpi{150} x^{2}+z^{2}=r^{2}$

$\dpi{150} x^2+z^2=\frac{16-y^2}{4}$

$\dpi{150} 4.x^2+4.z^2+y^2=16$

$\dpi{150} Mudando\ a \ representac\tilde{a}o\ teremos:$

$\dpi{150} {\color{Red} \frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1}$

$\dpi{150} {\color{Red} a)\ - \ Verdadeira}$

por rihan Dom 13 Nov 2011, 11:22

Não sei se Cônicas e Quádricas são do EM ... Shocked

Se você não souber cônicas (elipses, parábolas, hipérboles...) não vai adiantar...

Mas, Vamos Lá !!!

a) x²/4 + y²/16 = 1, z = 0

Quando queremos saber a interseção de uma quádrica com qualquer um dos 3 planos de E³ (xy, xz, yz) basta zerar a variável que não denomina o plano.

Nesse caso, zerou-se o z, então temos como interseção (ou "traço") da quádrica no plano xy:

x²/4 + y²/16 = 1

Que é facilmente reconhecida como a equação canônica de uma elipse:

x²/b² + y²/a² = 1

onde

a=4 e b = 2

Que, ao girar em torno do eixo maior, que coincide com o "y", vai resultar na superfície de uma quádrica, que no caso seria um elipsóide.

Equação da superfície A2rq1YlucXYDBYFTQQrqqtWWsWAxGQ2gh3aysLKxYDEYraCFdDAajLVi6GAwjwdLFYBgJli4Gw0iwdDEYRoKli8EwEixdDIaRYOliMIwESxeDYSRYuhgMI8HSxWAYCZYuBsNIsHQxGEaCpYvBMBIsXQyGkWDpYjCMBEsXg2EkWLoYDCPB0sVgGAmWLgbDSP4fvzjg3sYLsNMAAAAASUVORK5CYII=

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Você pode ver que o traço no plano xz, o plano perpendicular ao maior eixo, o de giro, é um círculo de raio 2.

Logo, quando fazemos y = 0, teremos que ter a equação de um círculo de raio 2, passando pela origem:

x²/4 + z²/4 = 1, para y = 0

Então,

x²/4 + y²/16 + z²/4 = 1

É realmente a equação do elipsóide.

VERDADEIRA

b) Procure fazer você agora... Vamos Lá ! cheers

O traço tem cara de parábola... Very Happy

por rihan Dom 13 Nov 2011, 11:30

Não sei em que semestre você está na faculdade nem qual o curso.

Mas se já estiver dando funções de mais de uma variável e derivadas parciais, integrais de superfície, coisas do gênero, temos outras ferramentas para usar.

Pode ser que seu livro de Cálculo seja casado com Geometria Analítica...

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