Questão de circunferência em geometria analítica

por Heloisa de Sousa Qua 03 Ago 2022, 16:45

(Ufsm) Sendo a[latex]\neq [/latex] k[latex]\pi[/latex], k [latex]\in [/latex] Z, e P(x, y) um ponto do plano tal que cos a = (4x - 16)/5 e cossec a = 5/(4y - Cool

, pode-se afirmar que P(x, y) é um ponto da circunferência de raio ____ que está centrada no ponto_____ .
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.
a) 5; (4, 2)
b) 5; (16, Cool

c) 5/4; (4/5, 2/5)
d) 5/4; (4, 2)
e) 1; (cos a, sen a)

Gabarito: D

Dúvida: Não consegui fazer essa questão, alguém sabe me dizer um caminho para resolvê-la?

por **qedpetrich** Qua 03 Ago 2022, 22:11

Olá Heloisa de Sousa;

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, podemos dizer que:

sen²a + cos²a = 1

Por definição de cossecante, cossec a = 1/sen a, logo:

1/sen a = 5/(4y - Cool

→ sen a = (4y - Cool

/5

Elevando ambos ao quadrado:

sen²a = (4y - Cool

²/25

cos²a = (4x - 16)²/25

Somando essas equações:

sen²a + cos²a = [(4y - Cool

² + (4x - 16)²]/25 = 1

(4(y - 2))² + (4(x - 4))² = 25

(x - 4)² + (y - 2)² = 25/16 = (5/4)²

Assim, tomando como base a equação de uma circunferência, generalizando, ou seja, λ: (x - x_o)² + (y - y_o)² = R². Fica evidente a resposta esperada. Dúvidas pontue. Smile

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