Transformação Linear

Considere [latex]T(x,y,z)[/latex] o operador linear de [latex]\mathbb{R}^3[/latex] que apresenta os seguintes valores próprios e vetores próprios:
[latex]\lambda_1=1[/latex] e [latex]\vec{v_1}=(1,1,0)[/latex]; [latex]\lambda_2=-1[/latex] e [latex]\vec{v_2}=(0,1,1)[/latex]; e [latex]\lambda_3=2[/latex] e [latex]\vec{v_3}=(0,0,1)[/latex].

O valor de [latex]T(2, -5, 7)[/latex] é

(A) [latex](2,9,35)[/latex]

(B) [latex](1,7,26)[/latex]

(C) [latex](4,-11,"oito")[/latex] ["oito" = 8, problemas com o latex quando digito o nº]

(D) [latex](5,15,-1)[/latex]

(E) [latex](-3,1,11)[/latex]

Fonte: Q57 - Magistério de Matemática - CA QCO 2021 - Exército Brasileiro - VUNESP.

Gabarito Oficial:

Devemos lembrar da seguinte propiedade:

Se [latex]\mathbf{v}[/latex] é um autovetor associado ao autovalor [latex]\alpha[/latex] de um operador linear [latex]T[/latex], então [latex]T(\mathbf{v})[/latex] = [latex]\alpha[/latex][latex]\mathbf{v}[/latex], logo:

colocando o vetor [latex](2,-5,7)[/latex] como combinação linear dos autovetores de  [latex]T[/latex], temos: 

[latex](2,-5,7) = a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(0,0,1)[/latex]

implicando em 

[latex]\left\{\begin{matrix} a = 2\\ b = -7\\ c = 14 \end{matrix}\right.[/latex]

portanto,

[latex]T(2,-5,7) = T(2\vec{v}_1 -7\vec{v}_2+14\vec{v}_3) = 2\lambda_1\vec{v}_1 -7\lambda_2\vec{v}_2+14\lambda_3\vec{v}_3 = (2,9,35)[/latex]