Fórmula do frustum da pirâmide quadrada
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Fórmula do frustum da pirâmide quadrada
por Avicena Qua 08 Jun 2022, 16:48
Alguém poderia me explicar como se chega e como se demonstra a fórmula do frustum de uma pirâmide quadrada? Aqui está a imagem:
Avicena- Jedi
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Re: Fórmula do frustum da pirâmide quadrada
por petras Qua 08 Jun 2022, 19:29
Prolongue os lados do tronco de pirâmide e forme uma pirâmide maior de volume V1
Sejam:
V = volume do tronco de pirâmide
V2=volume da pirâmide menor, h2 = altura da pirâmide menor
h1 = altura da pirâmide maior
h = altura do tronco de pirâmide
[latex]V =V_1-V_2=\frac{1}{3}S_{b1}.h_1-\frac{1}{3}S_{b2}.h_2=\frac{1}{3}(a^2.(h_2+h)-b^2.h_2)\\ \underline{\color{red}V = \frac{1}{3}(a^2h+(a^2-b^2).h_2(I)}\\ \frac{a^2}{b^2}=(\frac{h_1}{h_2})^2\implies \frac{\underbrace{h_1}_{h+h_2}}{h_2} = \frac{a}{b} \\ \therefore \underline{\color{red}h_2 = \frac{bh}{a-b}(II)}\\ (II)em(I):V = \frac{1}{3}(a^2h+(a^2-b^2)\cdot\frac{bh}{a-b})=\frac{h}{3}(a^2+(a+b)\cancel{(a-b})\frac{b}{\cancel{(a-b})})\\ \boxed{V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)} [/latex]
Sejam:
V = volume do tronco de pirâmide
V2=volume da pirâmide menor, h2 = altura da pirâmide menor
h1 = altura da pirâmide maior
h = altura do tronco de pirâmide
[latex]V =V_1-V_2=\frac{1}{3}S_{b1}.h_1-\frac{1}{3}S_{b2}.h_2=\frac{1}{3}(a^2.(h_2+h)-b^2.h_2)\\ \underline{\color{red}V = \frac{1}{3}(a^2h+(a^2-b^2).h_2(I)}\\ \frac{a^2}{b^2}=(\frac{h_1}{h_2})^2\implies \frac{\underbrace{h_1}_{h+h_2}}{h_2} = \frac{a}{b} \\ \therefore \underline{\color{red}h_2 = \frac{bh}{a-b}(II)}\\ (II)em(I):V = \frac{1}{3}(a^2h+(a^2-b^2)\cdot\frac{bh}{a-b})=\frac{h}{3}(a^2+(a+b)\cancel{(a-b})\frac{b}{\cancel{(a-b})})\\ \boxed{V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)} [/latex]
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"Ex nihilo nihil fit"
petras- Monitor
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