Polinômios - UFU 2009

por mariana.ocampos Sex 29 Abr 2022, 14:03

Sabendo-se que os números reais não nulos, a e -a, são soluções da equação [latex]3x^{3} - 2x^{2} + px +1 = 0[/latex] , então, pode-se afirmar que:

Gabarito: p < - 1

por **gabriel de castro** Sex 29 Abr 2022, 14:51

Olá mariana,

Basta você utilizar uma das Relações de Girard que se refere a soma da raízes de um polinômio e vai obter o seguinte:

[latex]r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\;\Rightarrow\;a-a+r_{3}=\frac{2}{3}\;\Rightarrow\;r_{3}=\frac{2}{3}[/latex]

Novamente aplicaremos Girard, mas agora para a relação da multiplicação dois a dois que é justamente p.

[latex]r_{1}.r_{2}+r_{1}.r_{3}+r_{2}.r_{3}=\frac{c}{a}\;\Rightarrow\;a.-a+a.\frac{2}{3}-a.\frac{2}{3}=\frac{p}{3}\;\Rightarrow\;p=-3a^{2}\;\\\\\therefore\;\boxed{p<-1}[/latex]

Obs.: Sendo mais rigoroso no trato dos resultados talvez seja mais prudente você utilizar a relação do produto para esclarecer a natureza de a e, portanto, de p para evitar erros na resposta final.

Espero ter ajudado Smile

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