EN 2009: TRIGONOMETRIA, POLINÔMIOS E PG.

por victorpapiro Seg 26 Jun 2017, 09:32

Considere X1, X2 e X3 ∈ ℜ raízes da equação 64x3-56x2+ 14x-1= 0.
Sabendo que X1, X2 e X3 são termos consecutivos de uma P. G e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sen [ (X1 + X2) π ] + tg [ (4X1 X3)π ] vale

GAB : 2 + √2
2
Bom dia galera, alguém consegue essa resolução para mim ?

por igorrudolf Seg 26 Jun 2017, 10:37

Bom dia,

Como as raízes estão em P.G, podemos reescrevê-las da seguinte maneira:

$\begin{cases}x_1=\frac{x_2}{q}\\x_3=q.x_2\end{cases}$

Por Girard:

$x_1x_2x_3=\frac{1}{64}\rightarrow \frac{x_2}{\cancel{q}}\times x_2\times \cancel{q}x_2=\frac{1}{64}\\\\\\\rightarrow x_2\: ^{3}=\frac{1}{64}\\\\\therefore x_2=\frac{1}{4}$

$x_1+x_2+x_3=\frac{7}{8}\rightarrow \frac{x_2}{q}+x_2+qx_2=\frac{7}{8}\\\\\rightarrow \frac{1}{4q}+\frac{1}{4}+\frac{q}{4}=\frac{7}{8}\rightarrow 2q^{2}-5q+2=0\\\\q'=0,5\: \: \: \: \: q''=2$

Como a P.G é descrescente, q = 0,5

Assim temos:

$\begin{cases}x_1=0,5\\x_2=0,25\\x_3=0,125\end{cases}\\\\\\\sin\Big(\frac{3\pi}{4}\Big)+\tan\Big(\frac{\pi}{4}\Big)\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}+1\\\\\rightarrow \boxed{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

por victorpapiro Seg 26 Jun 2017, 11:21

Na parte final da resolução, eu encontrei sen.3π/4 = - √2/2, por quê ? Eu fiz o seguinte: sen(180-45) = sen.180 . cos.45 - cos180 . sen45 = - √2/2

EDITADO ********************************************************** Desculpe o erro anterior, quando havia colocado o resultado = -1, na verdade encontrei - √2/2.

por igorrudolf Seg 26 Jun 2017, 11:33

Pois sua conta está errada.

$\sin(180-45)=\underbrace{\sin(180)}_0\underbrace{\cos(45)}_\frac{\sqrt{2}}{2}-\underbrace{\sin(45)}_\frac{\sqrt{2}}{2} \underbrace{\cos(180)}_-_1\\\\\\\rightarrow \sin(180-45)=\frac{\sqrt{2}}{2}$