matemática - função

O domínio da função [latex]f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-x-6}{3x-6}}[/latex]  é:

a) [−2,2[ ∪ [3,+∞[    
b) [−2,0] ∪ ]2,3] 
c) [0,2[ ∪ [3,+∞[ 
d) ]−∞,−2] ∪ ]2,3] 
e) ]−∞,0 ] ∪ ]2,3]

Porque o domínio não poderia ser [-2,−∞[ ∪ [3,+∞[? eu havia esboçado isso em meu caderno mas n tinha nenhuma dessas alternativas

Oi, Júlia! 
Como essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, necessariamente ela deve ser positiva para que seu domínio pertença ao conjunto ℝ .
Sendo assim, existes duas possibilidades: 
1) tanto numerador quanto denominador serem negativos, de modo que a expressão final fique positiva
2) tanto numerador quanto denominador serem positivos.


caso 1) 3x - 6 < 0 ∴ x<2 (lembre-se que o denominador deve ser diferente de 0)
           E x² - x - 6≤ 0. ∴ -2 ≤x≤ 3
 resolvendo o sistema:
x < 2   Ո   ( -2 ≤x≤ 3) =   -2 ≤x< 2


caso 2)  3x - 6 > 0 ∴  x>2
           E x² - x - 6 ≥ 0. ∴  x≥3 ou x ≤-2
Fazendo a interseção : x>2 Ո (x≥3 ou x ≤ -2) = x≥3


Como tanto o caso 1 quanto o 2 são soluções independentes do sistema, fazemos a união dos dois casos. A resposta fica, portanto:
 [−2,2[ ∪ [3,+∞[