PUC PR - Área setor circular

por samuelbelembr@gmail.com Seg 18 Abr 2022, 12:07

As soluções (valores de z) na equação zn = K,[latex]z\varepsilon \mathbb{C}^{\ast };n\varepsilon \mathbb{N}^{\ast };K\varepsilon \mathbb{Z}^{\ast }[/latex] da questão são pontos de uma circunferência. Calcule a área do setor circular formado nessa circunferência, tal que as extremidades do arco que forma o setor sejam duas soluções consecutivas da equação.

Alternativas

Spoiler:

por **tales amaral** Qui 28 Abr 2022, 06:43

A questão original usa [latex]z^n = k[/latex]. Resolvendo:

[latex]z^n = k[/latex]

[latex]\begin{align*} z &= k^\frac{1}{n} \\~\\ &= k^{\frac{1}{n}}\cdot \left[\cos{(0)} +i\cdot\sin{(0)} \right]^{\frac{1}{n}}\\~\\ &=k^{\frac{1}{n}}\cdot \left[\cos{\left( \dfrac{0+2\pi p}{n}\right )} +i\cdot\sin{\left( \dfrac{0+2\pi p}{n}\right )} \right], p\in \left\{0,1,2\cdots , n-2,n-1 \right \} \end{align*}[/latex]

O módulo (o raio) das soluções vai ser sempre [latex]k^{\frac{1}{n}}[/latex] e o ângulo entre duas soluções vai ser [latex]\dfrac{2\pi}{n}[/latex]. Calculando a área de um arco:

[latex]\begin{align*} A &=\dfrac{\alpha \cdot r^2}{2} \\~\\ &=\dfrac{\left(\dfrac{2\pi}{n} \right ) \cdot \left(k^{\frac{1}{n}}\right)^2}{2} \\~\\ &=\dfrac{\pi\cdot k^{\frac{2}{n}}}{n} \end{align*}[/latex]

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