Matemática - Números Complexos V

Creio que haja algum erro de digitação. Suponho que o enunciado seja mais ou menos assim:

Considere o conjunto A = {z ∈ C / |z-3-4i|=3}. De todos os complexos pertencentes ao conjunto A no plano complexo, w é o complexo de argumento mínimo (ou máximo). Determine a soma entre a parte real e a parte imaginária do afixo do complexo iw'+2+3i que é igual a:

Bom, eu fiz o cálculo para os dois casos, isto é:

1) argumento mínimo;
2) argumento máximo.

Creio que a questão esteja se referindo ao complexo w de argumento mínimo, pois ao fazermos os cálculos para o caso "2)" chegamos em um valor que não atende nenhuma das alternativas.

Quanto à resolução, façamos algumas construções geométricas:



O conjunto A = {z ∈ C / |z-3-4i|=3} corresponde à circunferência da figura acima. Os afixos "A", "B" e "T" são os complexos que pertencem ao conjunto A = {z ∈ C / |z-3-4i|=3}. Dentre os complexos do conjunto A = {z ∈ C / |z-3-4i|=3}, aquele de menor argumento está contido na reta de menor angulação que intersecta a circunferência |z-3-4i|=3, o que ocorre justamente quando a reta referida tangencia a circunferência. Portanto, o complexo de argumento mínimo está contido na reta y=(7/24)x e corresponde ao complexo designado pelo afixo "T". O resto é conta (creio que haja mais algumas formas de resolver este problema com cálculos mais concisos tendo em vista a geometria do problema, porém, acabei resolvendo da primeira forma que me veio em mente).

[latex]\mathrm{ |z-3-4i|=3\to |x+yi-3-4i|=3\to |(x-3)+(y-4)i|=3}[/latex]

[latex]\mathrm{(x-3)^2+(y-4)^2=9\ \therefore \ circunfer\hat{e}ncia\to R=3\ e\ C(3,4)}[/latex]

[latex]\mathrm{Pit\acute{a}goras\ no \bigtriangleup OCD: \overline{OA}  =\sqrt{\left ( \overline{CD} \right )^2+\left ( \overline{OD} \right )^2}-R=5-3=2}[/latex]

[latex]\mathrm{Pit\acute{a}goras\ no \bigtriangleup OCT: \overline{OT}  =\sqrt{\left ( \overline{OC} \right )^2-\left ( \overline{CT} \right )^2}=4}[/latex]

Seja y=mx a reta tangente à circunferência. Substituindo y=mx na equação da circunferência e impondo a condição de tangência, isto é, ∆=0:

[latex]\mathrm{x^2-6x+m^2x^2-8mx+16=0\to (m^2+1)x^2-(8m+6)x+16=0}[/latex]

[latex]\mathrm{\Delta =(8m+6)^2-64(m^2+1)=0\to m=\frac{7}{24}\ \therefore \ Reta\ tangente:y=\frac{7}{24}x}[/latex]

[latex]\mathrm{Do\ sistema\ formado\ por\ (x-3)^2+(y-4)^2=9\ e\ y=\frac{7}{24}x\to T\left ( \frac{96}{25},\frac{28}{25} \right )}[/latex]

[latex]\mathrm{Desse\ modo:\omega =\frac{96}{25}+\frac{28}{25}i\to \overline{\omega }=\frac{96}{25}-\frac{28}{25}i}[/latex]

[latex]\mathrm{Do\ enunciado:i\overline{\omega}+2+3i=Afixo\left ( \frac{78}{25},\frac{171}{25} \right )\ \therefore \ S=\frac{78+171}{25}=\frac{249}{25}}[/latex]

Vale destacar o seguinte: se a questão tivesse te pedido os complexos pertencentes ao conjunto A = {z ∈ C / |z-3-4i|=3} que possuem módulo mínimo e módulo máximo, você teria que encontrar os pontos (afixos) "A" e "B" indicados na figura e em seguida calcular o módulo desses complexos, o que não é difícil tendo em vista que AC=BC=R=3.

Se houver dúvidas, avise. Penso que seja isso.

Disponha!

O código do meu LaTeX bugou e não apareceram algumas informações para você.

O segmento "OA" corresponde ao módulo do complexo pertencente ao conjunto "A" que possui módulo mínimo, ou seja, de todos os complexos pertencentes ao conjunto "A", aquele que possui módulo mínimo possui módulo igual a OA = 2. Naturalmente, o complexo de módulo máximo possui módulo igual a OB = 2 + 2 x R = 2 + 2 x 3 = 8.

O segmento "OT" corresponde ao módulo do complexo de menor argumento dentre os complexos pertencentes ao conjunto "A".

Ambas as informações não foram pedidas pela questão, mas decidi deixar como informação extra na resolução.