Lançamento oblíquo

por aitchrpi Qua 16 Mar 2022, 10:49

Um canhão atira uma bola com um ângulo θ acima do solo horizontal. (a) Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição da bola como função do tempo. (Use os eixos com x medido horizontalmente e y verticalmente. (b) Seja r(t) a distância da bola a partir do canhão. Qual é o maior valor possível de θ se r(t) cresce durante o voo da bola?

A alternativa (a) é bem tranquila, mas a (b) parece um pouco mais complicada. Eu encontrei a posição x e y quando y é máximo e depois a posição x quando x é máximo. Como r(t) é crescente, (xm)² > (ym)² + x² -----> arctan(2sqrt(3)) > θ. Mas essa condição é apenas necessária, e não suficiente, então eu desconfio que essa não é a resposta. Não tenho o gabarito.

por **Giovana Martins** Sáb 19 Mar 2022, 09:09

Imaginei algo assim:

[latex]\mathrm{\underline{Item\ A}}[/latex]

[latex]\mathrm{\overset{\to }{F}=m\frac{d\overset{\to }{P^2(t)}}{dt^2}\to F_x\hat{i}+F_y\hat{j}=m\frac{dP^2_x(t)}{dt^2}\hat{i}+\frac{dP^2_y(t)}{dt^2}\hat{j}}[/latex]

[latex]\mathrm{Apenas\ a\ F_{Gravitacional}\ atua\ na\ trajet\acute{o}ria,logo:}[/latex]

[latex]\mathrm{\cancelto{0}{\mathrm{F_x}}\hat{i}+\cancelto{-mg}{\mathrm{F_y}}\hat{j}=m\frac{dP^2_x(t)}{dt^2}\hat{i}+\frac{dP^2_y(t)}{dt^2}\hat{j}\to -mg\hat{j}=m\frac{dP^2_x(t)}{dt^2}\hat{i}+\frac{dP^2_y(t)}{dt^2}\hat{j}}[/latex]

[latex]\mathrm{Em\ x:\frac{d{P^2_x(t)}}{dt^2}\hat{i}=0\to P_x(t)\hat{i}=v_{0_x}t\hat{i}}[/latex]

[latex]\mathrm{Em\ y:-mg\hat{j}=\frac{d\overset{\to }{P^2_y(t)}}{dt^2}\hat{j}\to P_y(t)\hat{j}=\left ( -\frac{1}{2}gt^2+v_{0_y}t \right )\hat{j}}[/latex]

[latex]\mathrm{\overset{\to }{P}(t)=P_x(t)\hat{i}+P_y(t)\hat{j}\to \overset{\to }{P}(t)=[v_0tcos(\theta )]\hat{i}+\left [ -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}tsin(\theta ) \right ]\hat{j}}[/latex]

[latex]\mathrm{\underline{Item\ B:}[/latex]

[latex]\mathrm{P(t)=\sqrt{P_x^2(t)+P_y^2(t)}=\sqrt{\left [ v_0tcos(\theta ) \right ]^2+\left [ -\frac{1}{2}gt^2+v_0tsin(\theta ) \right ]^2}}[/latex]

[latex]\mathrm{P(t)=\sqrt{v_0^2t^2+\frac{1}{4}g^2t^4-gt^3v_0sin(\theta )}}[/latex]

[latex]\mathrm{\frac{dP(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left [ \sqrt{v_0^2t^2+\frac{1}{4}g^2t^4-gt^3v_0sin(\theta )} \right ]=\frac{2v_0^2t +g^2t^3-3gt^2v_0sin(\theta )}{2\sqrt{v_0^2t^2+\frac{1}{4}g^2t^4-gt^3v_0sin(\theta ) }}}[/latex]

[latex]\mathrm{P(t)\ \acute{e}\ crescente,logo,\frac{dP(t)}{dt}\ \acute{e}\ crescente.}[/latex]

[latex]\mathrm{Devemos\ ter\ 2\sqrt{v_0^2t^2+\frac{1}{4}g^2t^4-gt^3v_0sin(\theta ) } > 0.\ Sendo\ \frac{dP(t)}{dt}\ crescente,devemos\ ter:}[/latex]

[latex]\mathrm{ 2 v_0^2 t +g^2 t^3-3 g t^2 v_0 sin(\theta ) > 0\to sin(\theta ) < \frac{2v_0^2+g^2t^2}{3v_0gt}\to \theta < arcsin \left ( \frac{2v_0^2+g^2t^2}{3v_0gt} \right )}[/latex]

Nota¹: no item B: P(t) corresponde à distância da bola ao canhão.

por aitchrpi Sáb 19 Mar 2022, 10:01

Obrigado pela ajuda! Mas no item B, analisando fisicamente, a resposta não deveria ser independente do tempo? O ângulo theta é constante ao longo de todo o trajeto.

Além disso, o que garante que 1 > 2v² + g²t² * 1/(3vgt) > -1? Por exemplo, se v = 1 e t = 1, a expressão resulta em aproximadamente 3.33.

por **Elcioschin** Sáb 19 Mar 2022, 10:24

O ângulo entre o vetor velocidade V e o eixo horizontal x varia com o tempo:

1) À medida em que o móvel sobe, o ângulo vai diminuindo
2) Na altura máxima o ângulo é nulo
3) À medida em que o móvel desce, o ângulo vai aumentando
4) Ao atingir a mesma altura do lançamento o ângulo é igual ao do lançamento

Evidentemente, o vetor posição varia com o tempo.

por aitchrpi Sáb 19 Mar 2022, 10:30

Eu concordo plenamente, mas o ângulo θ é o ângulo de lançamento, e não o ângulo entre o vetor velocidade e o eixo x em qualquer tempo t. Ou seja, theta é constante e não varia com o tempo.

por **Giovana Martins** Sáb 19 Mar 2022, 11:47

Acho que dá para "atacar" o problema da seguinte forma, veja.

Das conclusões do meu primeiro post:

[latex]\\\mathrm{2v_0^2t+g^2t^3-3gt^2v_0sin(\theta )>0\to t[2v_0^2+g^2t^2-3gtv_0sin(\theta )]>0}[/latex]

Do estudo do sinal será obtida a condição em função do tempo para o qual a função P(t) é crescente, obedecendo, portanto, as condições do enunciado.

[latex]\mathrm{De\ 2v_0^2+g^2t^2-3gtv_0sin(\theta ),tem-se: t=\frac{v_0}{2g}\left [ 3sin(\theta )\pm \sqrt{-8+9sin^2(\theta )} \right ]}[/latex]

Para valores pequenos de θ, t ∈ C, o que naturalmente não convém. Neste caso, impondo -8+9sin²(θ)=0, tem-se θ=θ_máx=arcsin(√(8/9)).