Geometria Euclidiana Plana

Fala, William.
Vamos partir da seguinte afirmativa: as três medianas de um triângulo concorrem em um único ponto: o Baricentro.

Repare que os triângulos ∆AGF e ∆BGF possuem a mesma base pois F divide AB ao meio e a mesma altura (distância da reta AB ao ponto G), logo ∆AGF e ∆BGF possuem a mesma área a qual chamaremos de x. Analogamente, ∆BGD e ∆GCD também possuem áreas iguais, chamaremos de y, e ∆CGE e ∆AGE também possuem a mesma área, chamaremos de z.

Agora, para fechar o problema, os triângulos ∆ACD e ∆ABD possuem a mesma base pois D divide BC ao meio e a mesma altura (distância da reta BC ao vértice A). Logo ∆ACD e ∆ABD também possuem áreas iguais:
z + z + y = x + x + y -> x = z.
Analogamente, temos para as áreas dos triângulos ∆BCF e ∆ACF:
z + z + x = y + y + x -> z = y
Também podemos aplicar para os triângulos ∆BCE e ∆BAE, mas ja encontramos o que queríamos: x = y = z.

Logo: [latex]A_{\triangle AGB} = A_{\triangle BGC} = A_{\triangle AGC}[/latex], ou seja, eles são triângulos equivalentes.