Valor minimo e maximo

por Katsmoking Sex 04 Fev 2022, 18:05

Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com altura H, de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone maior. Mostre que o cone interno tem seu volume máximo quando h= H/3.

- questao 41, modulo 4.7, Calculo 1 James Stewart

por **Elcioschin** Sex 04 Fev 2022, 18:51

Sejam r, R os raios do cone menor e maior

r/R = (H - h)/H ---> r = (R/H).(H - h) ---> r² = (R²/H²).(H - h)² ---> R²/H² = k (constante)

v = (pi/3).r².h ---> v = (pi/3).[ (R²/H²).(H - h)²].h

v = (pi.k/3).(h³ - 2.H.h² + H².h)

Derivando a função entre parênteses e igualando a 0 ---> 3.h² - 4.H.h + H² = 0 ---> h = H/3

por aitchrpi Sex 04 Fev 2022, 18:54

O volume do cone menor é descrito pela função f(h), em relação a altura, sendo

[latex]f(h) = \frac{1}{3}\,\pi\,R^2\,h[/latex]

Mas, por semelhança de triângulos, podemos concluir que, dado Rc = raio do cone maior,

[latex]\frac{H - h}{R} = \frac{H}{R_C}\,\,\therefore\,\,\,R = R_C\,\frac{H-h}{H}\,\,\,\therefore\,\,\,R^2 = R_C^2\,\frac{H^2 - 2Hh + h^2}{H^2} [/latex]

Assim,

[latex]f(h) = \frac{1}{3}\,\pi\,R_C^2\,\frac{H^2h - 2Hh^2 + h^3}{H^2} [/latex]

Então,

[latex]\frac{d\,f(h)}{dh} = \frac{1}{3\,H^2}\,\pi\,R_C^2\,\left( H^2 - 4Hh + 3h^2 \right) = 0[/latex]

Mas 3h² - 4Hh + H² = 0 somente para h = H ou h = H/3. Entretanto, quando h = H, f(H) = 0, já que R = 0. Portanto, o volume do cone é máximo quando h = H/3.

por Katsmoking Sex 04 Fev 2022, 19:05

Muito obrigado!! Fiquei levemente desconfiado ao fazer a relacao H-h tendo em vista que o cone menor estava de ponta cabeca em relacao ao maior mas percebo que nao interferiu no resultado.

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