Valor mínimo e máximo de y/x

por **Ashitaka** Qui 23 Out 2014, 18:50

Se a e b são respectivamente os valores máximo e mínimo de y/x, onde (x; y) com x; y > 0 satisfazem a equação:
2x² + xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0, então o valor de a+b é igual a:
a) 3
b) √10
c) 7/2
d) 9/2
e) 2√14

por PedroCunha Qui 23 Out 2014, 20:58

Olá, Ashitaka.

Wolfram

Tem certeza da equação?

por **Ashitaka** Qui 23 Out 2014, 21:26

Aqui está o enunciado original:
Valor mínimo e máximo de y/x 2NKFtyP

por PedroCunha Qui 23 Out 2014, 21:44

Achei aqui:

https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg49295.html

por **Ashitaka** Qui 23 Out 2014, 22:18

Obrigado, Pedro, mas não entendi ainda porque fazer a equação em x e como ele enxergou que os valores máximos e mínimos eram as raízes da equação. Você saberia explicar, por favor?

por Luck Qui 23 Out 2014, 22:40

Ashitaka escreveu:Obrigado, Pedro, mas não entendi ainda porque fazer a equação em x e como ele enxergou que os valores máximos e mínimos eram as raízes da equação. Você saberia explicar, por favor?

(3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0
∆ ≥ 0
-80k² +280k -199 ≥ 0
Como a concavidade da parábola é para baixo e a função deve ser positiva: k1 ≤ k ≤ k2 ∴ k1 ≤ (y/x) ≤ k2
Assim, as raízes desta equação são os valores máximo e mínimo de (y/x) , k1 + k2 = -b/a = (-280/-80) = 7/2

por **Ashitaka** Sex 24 Out 2014, 12:04

Veja se entendi, por favor:
Chegando em (3k²+k+2)x² - x(20k + 11) + 40 = 0, devemos ter ∆ ≥ 0, para ser real:
(20k+11)² - 160(3k²+k+2) ≥ 0
400k²+440k+121-480k²-160k-320 ≥ 0
-80k² + 280k - 199 ≥ 0
O maior valor que k assume onde x e y são simultaneamente positivos é a maior raiz, b, e o menor valor que k assume onde x e y são simultaneamente positivos é a menor raiz, a.
Esqueci/errei algo?
À propósito, não faz sentido falar em positivo ou negativo quando temos um complexo com parte imaginária não-nula, certo?

por Luck Sex 24 Out 2014, 16:06

Ashitaka escreveu:Veja se entendi, por favor:
Chegando em (3k²+k+2)x² - x(20k + 11) + 40 = 0, devemos ter ∆ ≥ 0, para ser real:
(20k+11)² - 160(3k²+k+2) ≥ 0
400k²+440k+121-480k²-160k-320 ≥ 0
-80k² + 280k - 199 ≥ 0
O maior valor que k assume onde x e y são simultaneamente positivos é a maior raiz, b, e o menor valor que k assume onde x e y são simultaneamente positivos é a menor raiz, a.
Esqueci/errei algo?
À propósito, não faz sentido falar em positivo ou negativo quando temos um complexo com parte imaginária não-nula, certo?

Isso. Não faria sentido mas as raízes são reais:
∆ = 280² -4(-80)(-199)
∆ = 78400 -63680
∆ = 14720 , então a e b são reais ( e positivas , pois P > 0 e S > 0 ).