Geometria Espacial

Sejam r e duas retas reversas ortogonais e MN o segmento da perpendicular comum. Tomam-se um ponto A sobre r e um ponto B sobre s. Calcule o comprimento do segmento AB em função de MA=a, NB=b e MN=c

Gabarito: AB = √a²+b²+c²

Boa noite!
Vou mostrar o que consegui fazer.
Deixo como observação que representei entre colchetes os segmentos de reta e entre parênteses os ângulos. Assim, onde vê-se [AB], leia "segmento de reta AB"; onde vê-se (ABC), leia "ângulo com vértice em B".

Inicialmente, é importante que saibamos o que são retas reversas ortogonais. Resumidamente, duas retas são ditas reversas ortogonais se não existir um plano que contenha as duas retas e a projeção do plano de uma for ortogonal (perpendicular) ao plano da outra. Fiz um desenho para ilustrar melhor, veja: 



Note que é impossível existir um plano que contenha r e s simultaneamente e, além disso, se olharmos a projeção do plano de uma reta sobre o plano da outra, ver-se-á que são perpendiculares.

Bom, a partir daí não é tão complicado. Determinei pontos A e B quaisquer (poderiam ser escolhidos em outro local da reta, os escolhi nessa posição para facilitar a visualização) e veja que conseguimos dois triângulos retângulos: ∆BMN e ∆ABM. É fácil de provar que o ângulo (BNM) é reto, basta ver que se trata do suplemento do ângulo reto do quadrado na reta s. Para o ângulo (AMB), toma-se o mesmo argumento. 

Agora, utilizando-se o Teorema de Pitágoras em ∆BMN, vem: [BM]² = [BN]² + [MN]² ⇒ [BM]² = b² + c² (i). Agora, em ∆ABM, tem-se: [AB]² = [BM]² + [MA]². Com (i): [AB]² = a² + b² + c² ⇒ [AB] = √(a² + b² + c²).

Acredito ser isso. Se alguém notar algum erro, por favor, avise-me. Se lhe restar dúvidas, pergunte.


Ah, uma pequena observação. Quando for representar raízes, a raiz de 3 + 2, por exemplo, represente da seguinte forma: √(3 + 2). Ao escrever √3 + 2 entendo ser 2 mais a raiz de 3.