Área do triângulo

(PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine sua área.


Gabarito: 96 cm².

Pela relação fundamental:

sen²θ+cos²θ=1

Através dessa relação achamos o "k"

Depois achamos :

senθ=k+1/2

cosθ=k

Com o senθ e o cosθ, podemos achar os lados do triângulo....

Então:

Área= (base*altura)/2

Obrigado.

O cálculo da resolução da questão para quem quiser conferir:
Dados: sen θ = k+1/2, cos θ = k e hipotenusa = 20 cm
Utilizando a relação fundamental para achar o valor de K :
sen²θ+cos²θ=1
(k+1/2)² + k² = 1

k² + 2k + 1
__________ + k² = 1
4

5k² + 2k + 1
__________ = 1
4

5k² + 2k - 3 = 0
Δ = 64
k = -2-8/10 ou -2+8/10

Ki = -1 (não serve) Kii = 0,6

senθ = 0,6+1/2
co/20 = 0,8
co = 16 cm

cos θ = 0,6
ca/20 = 0,6
ca = 12 cm

O perímetro do triângulo é igual a 20 + 16 + 12 = 48 cm. Calculando a área do triângulo pela fórmula de Heron que obtém a área em função dos lados e do semiperímetro (metade do perímetro):
At = √p(p-a)(p-b)(p-c)
At = √24 (24 - 20) (24-16) (24 -12)
At = √24.4.8.12
At = √96.96
At = 96 cm²