Teoria angular.

Dados P(-3,-3) e (r) 4x + 5y - 14 = 0, pede-se: 
a reta t simétrica de r em relação a P.

(t) 4x + 5y + 68 = 0

Olá SO_Manetol;

Por acaso o gabarito é (t): 4x + 5y + 68 = 0?

Se sim, eu posto minha solução.

Sim, o gabarito confere. 
Perdão pelo meu relapso.

Basta impor que a reta t seja paralela a r e tenha a mesma distância dP,r.

I) A reta que é paralela a 4x + 5y - 14 = 0 é da forma 4x + 5y + c = 0.

II) A distância de P até r é:
[latex]dP,r = \left | \frac{4(-3)+5(-3)-14}{\sqrt{41}} \right | = \frac{41}{\sqrt{41}}[/latex]


III) A distância de P até t é:
[latex]dP,t = \left | \frac{4(-3)+5(-3)-c}{\sqrt{41}} \right | = \frac{41}{\sqrt{41}}\Leftrightarrow c = - 14\vee c=68 [/latex]



Então a reta procurada é 4x + 5y + 68 = 0.

Gráfico:

Show, segue a resolução um pouco diferente da ideia do colega(o) Rory:

I) Temos uma reta e um ponto, calculando a reta ortogonal (s) a (r), logo:

(s): -5x + 4y + k = 0

Para determinação de k, basta aplicar um ponto que está contido na reta, dessa forma pelo ponto dado:



(s): -5x + 4y -3 = 0

II) Vamos determinar a interseção de (r) com (s), o ponto será utilizado nos próximos passos.



Temos a seguinte configuração:



Como a reta t é simétrica em relação ao ponto P a única opção é que t é paralelo à r, dessa forma t é do tipo:

(t): 4x + 5y + n = 0

III) Perceba que o ponto P pode ser tratado como ponto médio de um ponto genérico da reta s, dessa forma, já temos um extremo e o ponto médio, basta determinar a outra extremidade, portanto:





Como B pertence a reta que é simétrica de r em relação à P, determinamos a reta t substituindo o ponto B:



Dessa forma, a reta procurada é:

(t): 4x + 5y + 68 = 0

Qualquer dúvida a disposição!