Gráfico de função quadrática

Pra descobrir a função, vc pode jogar na forma fatorada:
f(x) = a (x-x')(x-x'')
As raízes sao 1 e 5
f(x) = a(x-1)(x-5)
Pelo gráfico para x=2 ,y =3
3 = a(2-1)(2-5)
a = -1
Logo , f(x) = -x² + 6x - 5
D: IR
Img: ]-∞,4]

Como acho as raízes da função?
É só olhar onde a parábola corta o eixo x, no caso 1 e 5

Qual é o domínio e a imagem da função?
O domínio é o conjunto de todos os x da função e a imagem, o conjunto de todos os y. No caso o domínio são todos os reais e a imagem são todos os reais menores 4 ou igual a 4

Como determinar a função quadrática?
Cada gráfico é um gráfico. Nesse, você pode utilizar a forma fatorada que é dada por: y = a.(x-x').(x-x'')

vamos pegar os ponto (2,3) para descobrir o a da forma fatorada:

3 = a.(2-1).(2-5)
3 = -3.a
a = -1

y = a.(x-x').(x-x'')
y =-1(x-1).(x-5)
y = -1.(x² - 5x - x + 5)
y = -x² + 6x - 5

Espero ter te ajudado. Abraços.

As raízes de um função f(x) são os valores de "x" que anulam a função, ou em símbolos:

Se f(x) = 0 ==> x é raíz da função.

O gráfico de uma função é a melhor forma de representação da função, pois você VÊ todas as características da mesma.

Segue o ditado: "Uma imagem vale por mil palavras...".

Você pode VER que a função corta o eixo dos X (y = 0) em:

r1: (1; 0) e r2: (5; 0)

Então, 1 e 5 são as raízes dessa função, pois f(1) = f(5) = 0.

Simplesmente: raíz = x onde y é ZERO .

O Domínio é o conjunto dos elementos "x", definido logo no início da questão:



Ou, melhor:

f : Domínio → Codomínio

Que nos diz que a função é "de ℝ em ℝ", maneira que os matemáticos gostam, e que quer dizer que a entrada da função ( domínio, conjunto de partida) é ℝ e a saída ( contra-domínio, codomínio, conjunto de chegada..) também é ℝ.

A Imagem é o conjunto dos "y" que estão associados aos "x" pela função, ou seja, os resultados da função para todos os "x" do domínio.

Você pode notar, pelo gráfico, que os valores de "y" estão limitados superiormente a um máximo de 4. Só isso de limite.

Logo o conjunto imagem seria o intervalo nos reais (-∞; 4], que pode ser também descrito mais" complicadamente" por:

Im(f) = { x | x ∈ ℝ ∧ -∞< x ≤ 4 }

As funções estudadas no ensino médio são poucas, dentre elas: polinomiais de 1º grau (linear, retas), de 2º grau ( quadrática, parábolas).

Além de ter sido dito que f(x) é quadrática,"VÊ-SE" que é uma parábola, que tem como forma geral:

f(x) = y = ax² + bx + c

ou, na forma fatorada:

f(x) = y = a(x - r1)(x - r2)

Onde r1 e r2 são as raízes.

O "c" é o valor de y ou f(x) quando x = 0, f(0), isto é, onde a parábola corta o eixo dos "Y", que VISUALMENTE não dá para se ver no gráfico.

O "a" nos diz sobre a concavidade da parábola, se positivo, está para cima (sorrindo... ), se negativo, para baixo (triste... ), o que é o nosso caso.

Para calcular todo mundo, "a", "b" e "c", várias maneiras se apresentam:

(1) Produto das raízes (c/a) é 5 e soma(-b/a) 6 e "a" negativo ( a<0) e experimentação (testa-se um ponto qualquer, tipo (3;4) ou (2;3) ) :

y = -x² + 6x - 5

(2) Pela forma fatorada e um ponto qualquer que não seja raíz:

y = a(x - r1)(x - r2) e (2;3)

3 = a(2-1)(2-5)

3 = -3a

a = -1

S = -b/a = 6 ==> b =6

P = c/a = 5 ==> c = -5

(3) Como temos 3 incógnitas, necessitamos de 3 dicas, 3 pontos, 3 equações...

Temos já as raízes (1; 0) e (5; 0). Podemos escolher o vértice, que é visível e marcante: (3; 4) e resolver um sisteminha de 3 equações e 3 incógnitas:

Substituindo-se os 3 pares em y = ax² + bx + c, teremos:

0 = a(1²) + b(1) + c

0 = a(5²) + b(5) + c

4 = a(3²) + b(3) + c


0 = a + b + c

0 = 25a + 5b + c

4 = 9a + 3b + c


Que, resolvido, nos dá:

a = -1

b = 6

c = -5

(4) Quando você tiver 3 pontos, os das raízes (r1;0) e (r2;0) e o vértice ou outro ponto qualquer (x;y) visíveis no gráfico, vai MAIS uma fórmula (útil só para ganhar tempo em concursos !):

a = y/((x-r1)(x-r2)) = 4/(3-1)(3-5) = 4/(-4) = -1

b = -(r1+r2)*a = -(1+5)*(-1) = 6

c = r1*r2*a = 5*1*(-1)= -5

logo f(x): y = -x² + 6x - 5