Resolver o sistema por Cramer
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Resolver o sistema por Cramer
por Zeis Sáb 22 Jan 2022, 15:16
1. Resolva o sistema pela regra de Cramer:
[latex]( \frac{1}{2})^{k}x_1+( \frac{3}{2})^{k}x_2+...+( \frac{2n-1}{2})^{k}x_n=( \frac{2n+1}{2})^{k}[/latex]
(k=0, 1, 2, 3, ... n-1)
[latex]( \frac{1}{2})^{k}x_1+( \frac{3}{2})^{k}x_2+...+( \frac{2n-1}{2})^{k}x_n=( \frac{2n+1}{2})^{k}[/latex]
(k=0, 1, 2, 3, ... n-1)
Zeis- Mestre Jedi
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Re: Resolver o sistema por Cramer
por Rory Gilmore Sáb 22 Jan 2022, 23:23
Eu não tentei fazer mas me parece que dará um sistema cuja matriz tem determinante de Vandermonde. Acho que se você tentar com essa dica sai a resposta.
Rory Gilmore- Monitor
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Re: Resolver o sistema por Cramer
por Rory Gilmore Dom 23 Jan 2022, 11:27
O sistema possui uma matriz de Vandermonde e aplicando a fórmula de seu determinante vem:
[latex]det(A) =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2} & \frac{5}{2} &... & \frac{2n-1}{2}\\ \left (\frac{1}{2} \right )^{2}& \left (\frac{3}{2} \right )^{2} & \left ( \frac{5}{2} \right ) ^{2}&... & \left (\frac{2n-1}{2} \right )^{2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}& \left (\frac{3}{2} \right )^{n-1} & \left ( \frac{5}{2} \right ) ^{n-1}&... & \left (\frac{2n-1}{2} \right )^{n-1}\\ \end{vmatrix}= [/latex]
[latex]= \left ( \frac{2n-1}{2}-\frac{1}{2} \right )\cdots \left (\frac{2n-1}{2}-\frac{2n-3}{2} \right )\cdots \left ( \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \right ) =[/latex]
[latex]= 1.2.1.3.2.1.4.3.2.1...(n-1).(n-2)...3.2.1 = 1!2!3!...(n-1)![/latex]
Agora é só resolver para x1, x2,..., xn.
[latex]det(A) =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2} & \frac{5}{2} &... & \frac{2n-1}{2}\\ \left (\frac{1}{2} \right )^{2}& \left (\frac{3}{2} \right )^{2} & \left ( \frac{5}{2} \right ) ^{2}&... & \left (\frac{2n-1}{2} \right )^{2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}& \left (\frac{3}{2} \right )^{n-1} & \left ( \frac{5}{2} \right ) ^{n-1}&... & \left (\frac{2n-1}{2} \right )^{n-1}\\ \end{vmatrix}= [/latex]
[latex]= \left ( \frac{2n-1}{2}-\frac{1}{2} \right )\cdots \left (\frac{2n-1}{2}-\frac{2n-3}{2} \right )\cdots \left ( \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \right ) =[/latex]
[latex]= 1.2.1.3.2.1.4.3.2.1...(n-1).(n-2)...3.2.1 = 1!2!3!...(n-1)![/latex]
Agora é só resolver para x1, x2,..., xn.
Rory Gilmore- Monitor
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