Tópicos da física - volume 2

por Vipir2 Qua 12 Jan 2022, 19:42

(UFC-CE) N recipientes, n1, n2, n3 ..., nN, contêm, respectivamente, massas m a uma temperatura T, m/2 a uma temperatura T/2, m /4 a uma temperatura T/4,..., m / 2 ⁿ - ¹ a uma temperatura T / 2 ⁿ - ¹, de um mesmo líquido. Os líquidos dos N recipientes são misturados, sem que haja perda de calor, atingindo a uma temperatura final de equilíbrio Tf.

a)Determine Tf, em função do número de recipientes N.

b)Determine Tf, se o número de recipientes for infinito.

Resposta:

por **Giovana Martins** Sex 14 Jan 2022, 20:45

Acho que é assim. A propósito, acho que o gabarito está errado. Se eu cometi algum equívoco, me avise. Se houver dúvidas, me avise também.

[latex]\mathrm{\sum_{i=1}^{n}\left (Q_i \right )=0\to Q_1+Q_2+Q_3+...+Q_n=c\times \sum_{i=1}^{n}[m_i\times (\theta _f-\theta _i)]=0}[/latex]

[latex]\mathrm{m\times c\times (\theta_f -\theta _1)+\frac{1}{2}\times m\times c\times \left ( \theta _f-\frac{1}{2}\times \theta _2 \right )+...+\frac{1}{2^{n-1}} \times m\times c\times \left (\theta_f-\frac{1}{2^{n-1}}\times \theta _n \right )=0}[/latex]

[latex]\mathrm{\theta_f -\theta +\frac{1}{2}\times \left ( \theta _f-\frac{1}{2}\times \theta \right )+...+\frac{1}{2^{n-1}} \times \left (\theta_f-\frac{1}{2^{n-1}}\times \theta \right )=0}[/latex]

[latex]\mathrm{\theta _f\times \left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}} \right )-\theta \times \left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{2n-2}} \right )=0\to \theta _f=\frac{2}{3}\times \theta \times \frac{1-\left ( \frac{1}{4} \right )^n}{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^n}}[/latex]

[latex]\mathrm{\theta _f=\lim_{n\to \infty }\left [ \frac{2}{3}\times \theta \times \frac{1-\left ( \frac{1}{4} \right )^n}{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^n} \right ]=\frac{2}{3}\times \theta}[/latex]

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