ANÁLISE COMBINATÓRIA - IME 1969

Seja A um conjunto e F uma coleção das bijeções de A sobre A. Calcular o número total de funções de F que não admitem nenhum ponto fixo, supondo-se A finito com n elementos.

Oi CooperAstronaut.

Todas as permutações de [latex] x_1, x_2, x_3, x_4 ... x_{n-1},x_n[/latex] podem representar simbolicamente cada uma das funções [latex]h: A \rightarrow A [/latex] bijetivas onde o primeiro elemento da permutação(imagem) está associado a [latex]x_1[/latex](elemento do domínio da função), o segundo elemento da permutação está associado a [latex]x_2[/latex] .... o i-zésimo elemento da permutação está associado a [latex]x_i[/latex]. Deixo por sua conta averiguar essa afirmação.

Um ponto fixo é do tipo [latex](a,a)[/latex] na representação do plano cartesiano. Logo nenhuma das i-zésimas posiçoes da permutação podem estar associadas aos respectivos [latex]x_i[/latex], em outras palavras o número de funções [latex]f[/latex] que estamos buscando são tantas quanto as permutações caóticas de [latex] x_1, x_2, x_3, x_4 ... x_{n-1},x_n[/latex].