Funções

Seja f1(x) = 1+1 e fn+1(x) = f1(fn(x)) ∀ n ∈ N. Quantas soluções reais e distintas
                       x
tem a equação x = f2001(x)?

I)Formular hipótese

f1(x) = 1 + (1/x) = (x+1)/x

f2(x) = f1(f1(x)) = 1 + [1/f1(x)] = 1 + [x/(1+x)] = (1+2x)/(1+x)

f3(x) = f1(f2(x)) = 1 + [1/f2(x)] = 1 + [(1+x)/(1+2x)] = (2+3x)/(1+2x)

f4(x) = f1(f3(x)) = 1 + [1/f2(x)] = 1 + [(1+2x)/(2+3x)] = (3+5x)/(2+3x)

*Logo pode se formular a hipótese que, sendo F_n o numero de Fibonacci,

[latex]f_{n}(x) = \frac{F_{n} + F_{n+1}\cdot x}{F_{n-1}+F_{n}\cdot x},\; \forall n\geq 2[/latex]

II)Prova para f_n+1(x),

[latex]f_{n+1}(x) = f_{1}(f_{n}(x)) = 1+\frac{1}{f_{n}(x)} = 1+\frac{F_{n-1} + F_{n}\cdot x}{F_{n}+F_{n+1}\cdot x}[/latex]

[latex]f_{n+1}(x) = 1 + \frac{F_{n-1} + F_{n}\cdot x}{F_{n}+F_{n+1}\cdot x} = \frac{(F_{n-1}+F_{n}) + (F_{n}+F_{n+1})\cdot x}{F_{n}+F_{n+1}\cdot x}[/latex]

[latex]f_{n+1}(x) = \frac{F_{n+1} + F_{n+2}\cdot x}{F_{n}+F_{n+1}\cdot x}[/latex]

Provado.

III)Para f₂₀₀₁(x),

[latex]f_{2001}(x) = \frac{F_{2001} + F_{2002}\cdot x}{F_{2000}+F_{2001}\cdot x} = x[/latex]

[latex]F_{2001}\cdot x^2 + (F_{2000}- F_{2002})\cdot x - F_{2001} = 0[/latex]

[latex]F_{2001}\cdot x^2 + (F_{2000} - (F_{2001}+F_{2000}))\cdot x - F_{2001} = 0[/latex]

[latex]F_{2001}\cdot x^2 - F_{2001}\cdot x - F_{2001} = 0[/latex]

[latex]x^2 - x - 1 = 0, \Delta \geq 0[/latex]

x = f₂₀₀₁(x) tem duas soluções reais e distintas.