Geometria Espacial

Prove que, em todo tetraedro isósceles, as perpendiculares comuns às retas suportes dos pares de arestas reversas interceptam-se em seus respectivos pontos médios.

Tetraedro isósceles = aquele em que a soma dos ângulos do triedro de qualquer vértice somam 180º.
Então o tetraedro de Platão (tetraedro regular, 4 triângulos equiláteros) é caso particular de um tetraedro isósceles.

As perpendiculares comuns às arestas reversas têm pé nos pontos médios das respectivas arestas.

Seja ABCD um tetraedro isósceles (não necessariamente regular) e MNPQRS os pontos médios das arestas. Para exposição e explicação, ignoremos as arestas AC e BD, seus pontos médios RS e a perpendicular que pode ser por eles traçada.


no triâng. ABC, MP é base média e vale MP = (1/2).AC
no triâng. ACD, idem para NQ.
portanto MP // NQ // AC

Analogamente para os segmentos MQ e PN que são bases médias respectivamente dos triângulos ABD e BCD e
portanto MQ // PN // BD

Disto depreende-se que o quadrilátero MPNQ está num mesmo plano e é um paralelogramo. Como consequência suas diagonais MN e PQ cortam-se ao meio (ponto X).

Este mesmo raciocínio deve ser estendido para a perpendicular RS e chegaremos a mesma conclusão -- na perspectiva deste desenho, isso ficaria muito estranho e precisaríamos fazer um outro desenho em outra perspectiva)